L’algebra lineare e le sue applicazioni

L’algebra lineare è la branca della matematica che si occupa dello studio dei vettori, spazi vettoriali (o spazi lineari), trasformazioni lineari e sistemi di equazioni lineari.

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Questo è senz’altro un argomento molto difficile e specifico. Di solito è una materia studiata da chi frequenta l’università, proprio perché richiede conoscenze di base molto avanzate.

In quest’articolo proveremo a chiarire alcuni concetti base e a dare indicazioni su come studiare questa branca della matematica. Inoltre vederemo anche in quali situazioni si può applicare questa particolare materia.

Nozioni base

Andremo a vedere alcune caratteristiche e proprietà proprie dell’algebra lineare.

L’algebra lineare e i vettori

L’algebra lineare ha le sue origini nello studio dei vettori negli spazi cartesiani a due e a tre dimensioni.

Un vettore, in questo caso, è un segmento orientato, caratterizzato da lunghezza (o magnitudine), direzione e verso.

I vettori possono essere usati per rappresentare determinate entità fisiche come le forze. Possono anche essere sommati fra loro e moltiplicati per uno scalare, formando quindi il primo esempio di spazio vettoriale sui reali.

Uno spazio vettoriale è definito sopra un campo, come il campo dei numeri reali o il campo dei numeri complessi. Se è fissata una base per uno spazio vettoriale, ogni trasformazione lineare può essere rappresentata da una tabella chiamata matrice.

Nell’algebra lineare si studiano quindi le proprietà delle matrici, e gli algoritmi per calcolare delle quantità importanti che le caratterizzano, quali il rango, il determinante e l’insieme dei suoi autovalori.

Uno spazio vettoriale (o spazio lineare), come concetto puramente astratto sul quale si provano teoremi, è parte dell’algebra astratta, e ben integrato in questo campo. Alcuni oggetti algebrici correlati, ad esempio, sono l’anello delle mappe lineari da uno spazio vettoriale in sé, o il gruppo delle matrici invertibili.

L’algebra lineare gioca anche un ruolo importante in analisi. Specialmente nella descrizione delle derivate di ordine superiore nell’analisi vettoriale e nella risoluzione delle equazioni differenziali.

Lo spazio vettoriale

La nozione più importante in algebra lineare è quella di spazio vettoriale. Uno spazio vettoriale è un insieme  di elementi, detti vettori. 

Il piano cartesiano è l’esempio fondamentale di spazio vettoriale. Ogni punto del piano è in realtà identificato univocamente come una coppia  di numeri reali. L’origine è il punto .

Applicazioni lineari

Una trasformazione lineare, detta anche applicazione lineare o mappa lineare, è una funzione lineare tra due spazi vettoriali sullo stesso campo.

Ovvero è una funzione che conserva le operazioni di somma di vettori e di moltiplicazione per uno scalare.

Il prodotto scalare

Due vettori  e  di uno spazio vettoriale possono essere sommati. Il risultato è un vettore.

Inoltre un vettore  e uno scalare  possono essere moltiplicati. Il risultato è un vettore .

Basi e dimensione

La base di uno spazio vettoriale è un insieme di vettori linearmente indipendenti che generano lo spazio. In modo equivalente, ogni elemento dello spazio vettoriale può essere scritto in modo unico come combinazione lineare dei vettori appartenenti alla base.

Se la base di uno spazio vettoriale è composta da un numero finito di elementi allora la dimensione dello spazio è finita. In particolare, il numero di elementi della base coincide con la dimensione dello spazio.

Invece la dimensione di uno spazio vettoriale è la cardinalità di una sua base, ovvero è il numero di vettori che la compongono.

Tutte le basi di uno stesso spazio vettoriale hanno la stessa cardinalità, come stabilisce il teorema della dimensione per spazi vettoriali, e dunque la dimensione di uno spazio vettoriale è univocamente definita. La dimensione di uno spazio vettoriale  sul campo  è scritta come .

Applicazioni

Date queste definizioni, ora vedremo come e dove tutte queste nozioni trovano un’applicazione più pratica.

Sistemi lineari

Un sistema di equazioni lineari, anche detto sistema lineare, è un sistema composto da più equazioni lineari che devono essere verificate tutte contemporaneamente.

Una soluzione del sistema è un vettore i cui elementi sono le soluzioni delle equazioni che compongono il sistema, ovvero tali che se sostituiti alle incognite rendono le equazioni delle identità.

L’algebra lineare fornisce molti algoritmi per determinare le soluzioni di un sistema lineare. Il legame fra i sistemi di equazioni e l’algebra lineare sta nel fatto che la matrice  può essere interpretata come applicazione lineare da  in : secondo questa interpretazione, le soluzioni  sono esattamente le controimmagini di .

Geometria analitica

La geometria analitica, chiamata anche geometria cartesiana, è lo studio delle figure geometriche attraverso il sistema di coordinate oggi dette cartesiane.

In geometria analitica una retta o un piano sono descritti da sistemi di equazioni lineari: come si è appena visto, questi possono essere agevolmente studiati con gli strumenti dell’algebra lineare.

Si possono quindi affrontare problemi quali le posizioni reciproche di due rette (o piani) nello spazio (che possono essere incidenti, paralleli o sghembi), e come queste variano per trasformazioni lineari.

Calcolo differenziale

L’analisi matematica delle funzioni in una variabile non fa uso dell’algebra lineare. L’analisi delle funzioni in più variabili invece dipende fortemente da questo settore. La nozione di derivata è infatti estesa in più variabili a quella di differenziale.

Mentre la derivata è un semplice numero reale che indica la pendenza di una funzione in un punto, il differenziale è un’applicazione lineare, che indica sempre la “pendenza” di una funzione (a più variabili) in un punto.

Analisi funzionale

L’analisi funzionale è il settore dell’analisi matematica che si occupa dello studio di spazi di funzioni.

Molti problemi dell’analisi funzionale, quali la ricerca di una soluzione per una equazione differenziale, vengono affrontati analizzando un particolare spazio di funzioni. Uno spazio di funzioni è uno spazio vettoriale i cui elementi sono funzioni di un certo tipo (ad esempio continue, integrabili, derivabili… definite su un dominio fissato).

Meccanica quantistica

La meccanica quantistica (anche detta fisica quantistica o teoria dei quanti) è la teoria fisica che descrive il comportamento della materia, della radiazione e le reciproche interazioni, con particolare riguardo ai fenomeni caratteristici della scala di lunghezza o di energia atomica e subatomica.

La meccanica quantistica fa ampio uso dei teoremi più avanzati dell’algebra lineare. Il modello matematico usato in questo settore della fisica descrive i possibili stati di un sistema quantistico come elementi di un particolare spazio di Hilbert e le grandezze osservabili (quali posizione, velocità, etc.) come operatori autoaggiunti.

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