Analisi funzionale matematica: spiegazione completa

di Franceco C.

Matematica 19 Novembre 2019

In matematica la maggior parte delle Funzioni, cioè operazioni che vengono ripetute potenzialmente all’infinito, non sono ben definite.
Se ne conoscono solo alcune, come per esempio la funzione esponenziale, la logaritmica, la radice quadrata, etc., ma quando si definiscono nuove Funzioni, che siano esse realizzate da zero oppure derivate dalla composizione di quelle conosciute, i comportamenti cambiano. Qui entra in gioco l‘ Analisi Funzionale, comunemente nota come studio di funzione .

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Definizione

Per Analisi Funzionale, o studio di funzione, si intendono una serie di passaggi tramite i quali si possono capire e studiare i comportamenti delle Funzioni, secondo determinati risultati, con il fine di restituirne il grafico in maniera concreta.

Sommario

Passaggi per effettuare un’analisi funzionale o studio di funzione.

I passaggi per effettuare uno studio di funzione sono sostanzialmente 8:

Insieme di definizione (o Dominio);
Studio di Parità o Disparità della funzione;
Intersezioni con gli assi;
Studio del segno della Funzione;
Limiti agli estremi del dominio e/o limiti “rilevanti”;
Studio della derivata prima;
Derivata seconda con studio di convessità e punti di flesso;
Disegno del grafico di funzione (approssimativo o esatto che sia).

1) Studio del Dominio di una funzione

Il Dominio di una funzione, o insieme di definizione, è quella parte di R o C (o altri dipendentemente dal tipo di variabile che si sta studiando) in cui y=f(x) esiste o è definita.
Per determinare il Dominio di una funzione è necessario e sufficiente individuare i punti in cui la funzione non esiste. Per farlo dobbiamo scomporre la funzione che stiamo studiando in funzioni elementari di cui si conosce il Dominio e determinare il più grande insieme di R, C, ect., in cui tutte le condizioni sono verificate contemporaneamente.

Condizioni di esistenza di funzioni elementari:

Rapporti: denominatore diverso da 0;
Logaritmi: argomento diverso da zero;
Radici di indice pari: radicando maggiore di zero;
Arcoseno/Arcoseno: argomento compreso tra -1 e 1 (con doppia disequazione);
Esponenziale con base variabile: base maggiore di zero;
Seno/Coseno: sono definite su R;
Ed altre…

Una volta che abbiamo individuato le varie condizioni di esistenza passeremo ad un sistema in cui inseriremo ogni condizione trovata e individueremo una condizione globale.

2) Studio di Parità e Disparità

Lo studio di questa proprietà è molto utile perché, nel caso una funzione fosse Pari o Dispari, sapremo che la funzione che stiamo studiando sarà simmetrica rispetto all’asse Y o all’origine (0;0) questo ci permette, in alcuni casi, di studiare solo una parte di grafico e dedurne il resto per simmetria.

Nel caso di Parità della funzione allora f(-x)=f(x) e questo ci dice che la funzione è simmetrica rispetto all’asse Y.

–Esempio: y= x^2 rappresenta la funzione della parabola con centro nell’origine. f(x)=x^2=(-x)^2=f(-x) e questo ci dice infatti che la parabola è simmetrica rispetto all’asse Y.

Nel caso di Disparità della funzione allora f(-x)=-f(x) e questo ci dice che la funzione è simmetrica rispetto all’origine (0,0)

-Esempio: y= x^3 rappresenta la funzione del cubo passante per l’origine. f(x)=x^3=(-x)^3=-x^3=-f(x) questo ci dice che la funzione è
simmetrica rispetto all’origine (0,0)

N.B. Lo studio del dominio di una funzione ci aiuta in oltre a capire quando è necessario studiare la simmetria di una funzione. In effetti se ci ritroviamo di fronte ad un dominio simmetrico rispetto all’origine, come per esempio [-4;4], (-∞,-1]U[1,+∞) etc., allora vale la pena tentare di capire se la funzione è pari o dispari, in caso contrario sappiamo già che essa non può essere né pari né dispari.

3) Intersezioni con gli assi

Le intersezioni con gli assi di una funzione y=f(x) sono i punti in cui il grafico interseca gli assi cartesiani.
Per calcolare allora le intersezioni è necessario imporre nella funzione originale il caso in cui x=0 e y=0 e ogni volta calcolare l’altra coordinata, ricorrendo anche alle funzioni inverse, per trovare il punto di intersezione.

N.B. Se il punto x=0 appartiene al dominio di funzione allora essa intersecherà l’asse y, in caso contrario no.

-Esempio: Prendiamo ad esempio la funzione y=x^2.

Intersezione con l’asse x. Poniamo quindi y=0 e calcoliamo x^2=0. Ricorrendo ora alla funzione inversa dell’esponete otteniamo x=0 quindi la funzione interseca l’asse x in x=0
Intersezione con l’asse y. Poniamo x=0 e ci accorgeremo che y=0^2=0 quindi la funzione interseca l’asse y in y=0.

Ritroviamo quindi la definizione della funzione y=x^2 cioè la parabola rivolta verso l’alto centrata in (0;0) (come da grafico sopra).

4) Studio del segno di una funzione

Studiare il Segno di una funzione serve a capire in quali parti del suo dominio essa è positiva, cioè al di sopra dell’asse X, e/o negativa, cioè al di sotto dell’asse X.

Per conoscere il Segno di una funzione ci basta studiare la disequazione f(x)>0, ricordando di prendere solo le parti che appartengono al dominio poiché essa al di fuori non esiste.

-Esempio: studiamo il segno della funzione x^3. Il suo dominio è R.
Poniamo quindi x^3>0 e ricorrendo alla funzione inversa scopriremo che la disequazione è soddisfatta per tutte le x>0. Quindi la funzione è positiva su [0;+∞), negativa su (-∞;0] e vale 0 in x=0 (come da grafico sopra).

N.B. In questa fase se aggiungiamo anche la condizione supplementare sul segno in cui x=0 allora troveremo sia l’intersezione con l’asse y che il segno di funzione.

Se vuoi un consiglio in più per affrontare l’argomento, dai un occhiate a questo metodo di studio delle Funzioni proposto sul blog di Skuola.net | Ripetizioni

5) Limiti agli estremi di dominio

Per poter disegnare efficacemente il grafico di funzione bisogna capire dove tende la quando si avvicina agli estremi del suo dominio.
Per fare ciò si individuano gli estremi e si fa tendere la x ad essi.

Esempio. consideriamo la funzione y=x^2. Il suo dominio è (-∞;+∞) cioè tutto R. Ora per capire dove tenderà y quando x tende a +/-∞ studieremo il valore del limite di x^2 quando x tende a +/-∞. In entrambi i casi scopriremo che ci saranno dei limiti a +∞ quindi sapremo che andamento avrà la funzione quando ci avviciniamo agli infiniti. (come da grafico sopra)

Individuazione di asintoti orizzontali e obliqui.

Se il limite a +/-∞ tende ad un infinito allora non c’è un asintoto orizzontale. Contrariamente se tende ad un numero reale “a” significa che la retta y=a è un asintoto orizzontale della funzione.

Per calcolare gli asintoti obliqui eventuali procederemo in questo modo:

Calcolo del limite a +∞ di f(x)/x. Se tende ad un infinito allora non ci sarà un asintoto obliquo.
Se il limite a +∞ di f(x)/x tende ad un reale “m” allora si calcola il limite a +∞ di (f(x)-mx). E se il limite tende ad un infinito allora non ci sono asintoti obliqui, se tende ad un reale “q”, allora esiste un asintoto obliquo di equazione: y=mx+q con q che può essere anche nullo.

6) Studio della derivata prima

Questo passaggio è molto importante poiché studiare la derivata ci dà delle informazioni importanti sulla monotonia della funzione, cioè la crescenza e la decrescenza di essa all’interno del suo dominio.

Per procedere con questo passaggio è necessario sapere 2 cose fondamentali:

Saper individuare i punti in cui una funzione y=f(x) è derivabile;
Saper derivare una funzione y=f(x).

In linea generale il primo punto è molto spesso omesso poiché richiede la conoscenza di determinati concetti che non sempre vengono spiegati alle superiori, e molto spesso gli studenti anche all’università si dimenticano di questa regola fondamentale.

Con il fine di restituire il grafico il primo punto può spesso essere trascurato, ma bisognerebbe in ogni caso tenerlo sempre a mente.

Una volta calcolata la derivata della funzione dobbiamo porre:

f'(x)>0

L’insieme di punti in cui la derivata sarà positiva sono i punti in cui la funzione y=f(x) sarà crescente. In tutto il resto del dominio essa risulterà decrescente cioè a derivata di segno negativo.

Successivamente si impone un’altra condizione sulla derivata:

f'(x)=0

Questa condizione ci darà dei validi candidati di punti di massimo e minimo della funzione y=f(x).

7) Studio della derivata seconda

Questo ultimo passaggio ci darà l’informazione sulle zone di concavità e convessità. In questa fase si procede in maniera simile alla derivata prima.

Per prima cosa calcoliamo la derivata della derivata prima, cioè la derivata seconda della funzione originale:
y=f”(x)
Successivamente individuiamo i punti in cui la derivata seconda è positiva:
f”(x)>0
Le zone di positività e di negatività della derivata seconda ci dicono le zone di concavità e convessità della funzione. Le zone positive avranno una concavità verso l’alto e quelle negative daranno una concavità verso il basso. Indicate con una piccola parabola rivolta verso l’alto o verso il basso nel grafico dello studio della derivata seconda.

Infine poniamo la derivata seconda uguale a zero:

f”(x)=0

Così facendo individuiamo i possibili punti di flesso, cioè i punti in cui la funzione cambia di concavità.

8) Disegno del grafico di funzione

Non ci resta che disegnare il grafico della funzione tenendo conto di tutte le informazioni precedenti.

Disegniamo gli assi cartesiani
Segniamo i punti in cui la funzione interseca l’asse x e y.
Tenendo conto delle zone di positività e negatività cancelliamo le zone in cui la funzione non esiste.
Tracciamo gli asintoti verticali, orizzontali e obliqui, in caso di esistenza.
Individuiamo i punti di massimo e minimo.
Individuiamo i punto di flesso eventuali.
Zone di crescenza e decrescenza e zone di concavità e convessità.
Disegniamo il grafico.

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