Come risolvere le equazioni

La matematica è una delle materia che mette più in crisi i giovani studenti.

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Quante volte ti sei trovato davanti a un’equazione che decide di non voler essere risolta? Nonostante i tuoi innumerevoli tentativi, il tuo risultato è sempre immancabilmente diverso da quello del libro.

Come fare in questi casi?

In primo luogo bisogna conoscere il nemico: le equazioni. Cosa sono esattamente?

Cos’è un’equazione?

Un’equazione è una uguaglianza matematica tra due espressioni contenenti una o più variabili, dette incognite.

Classificazione delle equazioni

Una prima classificazione delle equazioni può avvenire in questo modo:

Equazioni algebriche

Le equazioni algebriche possono essere divise in vari gruppi in base alle loro caratteristiche; è necessario ricordare che un’equazione deve appartenere ad almeno e solo una delle categorie per ogni gruppo.

In base al grado del polinomio le equazioni possono essere di:

• 1º grado o equazioni lineari;
• 2º grado o equazioni quadratiche;
• 3º grado o equazioni cubiche;
• e così via.

Equazioni omogenee

Si definisce equazione omogenea, un’equazione algebrica in più variabili i cui termini hanno tutti lo stesso grado.

Equazioni trascendenti

Le equazioni trascendenti coinvolgono almeno un’incognita come argomento di una funzione non polinomiale.

Equazioni con valori assoluti

Le equazioni con valori assoluti contemplano oltre le incognite la presenza del valore assoluto di espressioni algebriche o trascendenti.

Equazioni funzionali

Le equazioni funzionali hanno almeno un’incognita che è una funzione.

In base alle espressioni letterali

In base alla presenza di altre espressioni letterali tutte le equazioni possono essere divise in:

• equazioni numeriche, contengono solo espressioni numeriche e l’incognita;
• equazioni parametriche, in cui le incognite sono funzioni espresse in funzione di uno o più parametri.

Quindi, detto ciò, esattamente cosa significa risolvere un’equazione?

Risolvere un’equazione significa individuare l’insieme dei valori di tutte le sue incognite per le quali l uguaglianza è verificata. Ovvero trovare le sue soluzioni.

Risolvere un’equazione

In matematica, per risolvere un’equazione si intende la ricerca degli elementi che soddisfino la rispettiva equazione (due espressioni unite da un’uguaglianza).

Queste espressioni contengono una o più incognite, che sono variabili libere per le quali sono cercati i valori che fanno sì che la condizione espressa dall’equazione sia soddisfatta. Per essere precisi, di solito si intende che questi valori non sono necessariamente valori reali, ma, in realtà, spesso sono espressioni matematiche.

Una soluzione dell’equazione è un’assegnazione di espressioni alle incognite che soddisfi l’equazione, in altre parole, quando questi risultati vengono sostituiti alle incognite, l’equazione diventa una tautologia (un’affermazione dimostrabilmente vera).

Per risolvere un’equazione è necessario conoscere bene alcune regole: i principi di equivalenza.

I principi di equivalenza

• Primo principio di equivalenza: data un’equazione, aggiungendo o sottraendo ad entrambi i membri uno stesso numero o una stessa espressione contenente l’incognita si ottiene un’equazione equivalente. A patto che, nel caso di aggiunta di un’espressione dipendente da un’incognita, non vengano ristrette le condizioni di esistenza.
  Esempio:

• Regola del trasporto: data un’equazione, trasportando un termine da un membro all’altro e cambiandolo di segno si ottiene un’equazione equivalente.
  Esempio:

• Regola di cancellazione: data un’equazione, se ci sono termini uguali presenti in entrambi i membri, essi possono essere cancellati ottenendo un’equazione equivalente.
  Esempio:

• Secondo principio di equivalenza: data un’equazione, moltiplicando o dividendo ambedue i membri per un numero diverso da zero, o per un’espressione contenente l’incognita che non si annulli qualunque sia il valore dell’incognita stessa, e che non restringa le condizioni di esistenza, si ottiene un’equazione equivalente.
  Esempio:

• Regola del cambiamento di segno: data un’equazione, cambiando segno a tutti i termini di entrambi i membri si ottiene un’equazione equivalente.
  Esempio:

Equazioni di primo grado

Dopo aver visto le regole base per la risoluzione delle equazioni, iniziamo a capire come risolverle.

Le equazioni più semplici da risolvere sono quelle lineari (cioè di grado 1).
Ecco un esempio:

La tecnica fondamentale è quella di sommare, sottrarre, moltiplicare o dividere entrambi i membri di un’equazione per lo stesso numero. Quindi ripetendo più volte questo processo, arrivare ad esprimere direttamente il valore della .
Nell’esempio precedente, se noi sottraiamo 3 da entrambi i membri, otteniamo:

Poi dividendo entrambi i membri per 2, otteniamo la soluzione:

Equazioni di secondo grado

Dopo aver visto le equazioni di primo grado, passiamo ora a scoprire cosa sono le equazioni di secondo grado.

In matematica, un’equazione di secondo grado o quadratica a un’incognita  è un’equazione algebrica in cui il grado massimo con cui compare l’incognita è 2, ed è sempre riconducibile alla forma:

.

Per il teorema fondamentale dell’algebra, le soluzioni (dette anche radici o zeri dell’equazione) delle equazioni di secondo grado nel campo complesso sono sempre due, se contate con la loro molteplicità. Nel campo reale invece le equazioni quadratiche possono ammettere due soluzioni, una soluzione doppia, oppure nessuna soluzione.

Equazioni complete e formula risolutiva generale

Un’equazione polinomiale di secondo grado viene detta equazione quadratica completa quando tutti i suoi coefficienti sono diversi da 0. Essa viene risolta con il cosiddetto metodo del completamento del quadrato, così chiamato perché si modifica l’equazione fino a ottenere al suo primo membro il quadrato di un binomio nella forma.

Anzitutto portiamo  al secondo membro:

Moltiplichiamo per  entrambi i membri, ottenendo:

Notiamo che

e che

dunque possiamo considerare il termine  come la  della formula del quadrato di binomio e  come il doppio prodotto  dove la  è uguale a , dunque, per fare in modo che al primo membro si abbia un quadrato di binomio, sommiamo ad ambo i membri dell’equazione :

ovvero:

Il secondo membro di quest’equazione è detto discriminante e in genere viene indicato con la lettera greca  (Delta). Se  è negativo non ci sono soluzioni reali, dal momento che il primo membro, essendo un quadrato, è sempre maggiore o uguale a . In caso contrario, possiamo scrivere:

che con semplici passaggi possiamo riscrivere come:

Quest’ultima è nota come formula risolutiva delle equazioni di secondo grado.

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