Spesso nella matematica più “calcolatoria” ci troviamo di fronte a degli esercizi composti da lunghe file di numeri e lettere legati tra loro dalle operazioni elementari (addizione, sottrazione, moltiplicazione e divisione). Si tratta delle cosiddette Espressioni Algebriche, anche chiamate Espressioni Algebriche Letterali. In questo articolo cercheremo di definirle e capire come risolverle.

Partiamo da alcune definizioni essenziali.

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Definizione di Espressione Algebrica.

Viene definita Espressione Algebrica un insieme di numeri e lettere (dell’alfabeto minuscole) legati tra loro dai segni di operazioni elementari.

Ad esempio

• 5a-3b+32
• 2ay+9a

Definizione e proprietà di un Monomio.

Si definisce come Monomio un’Espressione Algebrica letterale i cui numeri e lettere sono legati tra loro solo dall’operazione di moltiplicazione.

Un Monomio è costituito da una parte numerica munito del segno e una parte letterale, la relazione che le lega è la moltiplicazione.

Ad esempio

• +4ab è un monomio il cui coefficiente è +4 e la parte letterale è ab;
• -cd è un monomio il cui coefficiente è -1 e la parte letterale è cd;
• e/f non è un monomio.

Due Monomi si definiscono simili quando hanno la stessa parte letterale: le stesse lettere con lo stesso esponente.

Ad esempio

• 5a e -3a sono monomi simili. Stessa parte letterale con stesso esponente.

Due Monomi si definiscono opposti quando sono simili con coefficiente di segno opposto.

Ad esempio

• 5a e -5a sono monomi opposti.

Due Monomi si definiscono uguali quando sono simili e con lo stesso coefficiente.

Definizione del Grado di un Monomio.

Il Grado di un Monomio rispetto ad una sua lettera è l’esponente con cui essa figura.

Il Grado complessivo di un monomio è la somma degli esponenti delle lettere che lo compongono.

Ad esempio

• -3a³b³  a è di grado 3; b è di grado 3 e il monomio ha grado 3+3=6

Abbiamo quindi definito le caratteristiche principali dei Monomi, cioè quegli elementi che compongono le Espressioni Algebriche. Una volta che abbiamo capito cosa si intende per Monomio la definizione di Polinomio viene da se, ovvero un insieme di monomi non simili tra loro legati dai segni di addizione e sottrazione. Ma quando abbiamo di fronte un’Espressione come facciamo a risolverla?

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Addizione algebrica di Monomi.

La somma algebrica di due o più monomi simili ha come risultato un monomio simile a quelli di partenza avente come coefficiente la somma algebrica dei coefficienti dei monomi di partenza. In caso in cui i monomi non siano simili tra loro non è possibile effettuare una somma algebrica, sarà però possibile, eventualmente, effettuare altre operazioni di “semplificazione”.

Ad esempio.

• 8abc+32abc-6de+2def = (8+32)abc-6de+2def = 40adb-6de+2def

Moltiplicazione di Monomi.

A differenza della somma algebrica di monomi, la moltiplicazione e poi la divisione di due o più monomi è più delicata poiché essa non solo lavora sui coefficienti ma anche sugli esponenti delle lettere che compongono i monomi.

Proprietà 1: il prodotto di due o più monomi aventi base uguale da come risultato la base di partenza e come esponente la somma degli esponenti.

Proprietà 2: il prodotto di due o più monomi aventi più lettere è un monomio che ha:

1. il coefficiente come prodotto di tutti i coefficienti dei monomi di partenza
2. per parte letterale tutte le lettere presenti nei monomi di partenza, ciascuna scritta una sola volta e avente per esponente la somma degli esponenti della lettera stessa.

Ad esempio.

• (+5a²)*(-3a³b³)*(2b²) = (5*(-3)*2)*(a²⁺³b³⁺²) = -30a⁵b⁵

Divisione di Monomi.

Effettuando una divisione è bene tenere a mente una regola fondamentale della matematica, ovvero l’impossibilità di dividere per 0. Quando abbiamo definito i monomi abbiamo detto che le lettere rappresentano numeri. Generalmente ci si riferisce ai numeri Naturali (ℕ) o quelli Reali (ℝ), ed in essi è presente anche lo 0. Spesso negli studi inferiori si tende a passare sopra a questa cosa dando più conto all’esecuzione dell’esercizio piuttosto che ai fattori di formalità, però al fine di un corretto svolgimento dell’esercizio è bene tenerne almeno conto.

Uno dei trucchi più semplici per risolvere una divisione tra monomi è quello di ricordarsi una delle proprietà più importanti degli esponenti, ovvero che quando vogliamo portare a numeratore il denominatore il segno degli esponenti cambia. Se quindi vediamo le divisioni come moltiplicazioni avente per esponenti numeri di segno opposto, tutto diventa più semplice.

Diamo comunque le proprietà della divisione tra monomi tenendo a mente la regola sopra citata.

Proprietà 1: il quoziente di due o più potenze aventi stessa base (non nulla) è un monomio avente come base quella di partenza e come esponente la differenza degli esponenti.

Proprietà 2: il quoziente di due monomi (di cui il secondo è non nullo) è un monomio avente:

1. come coefficiente il quoziente dei coefficienti di monomi di partenza
2. per parte letterale tutte le lettere presenti ciascun monomio, scritta una sola volta e come esponente la differenza tra gli esponenti dei monomi di partenza

Potenza di un monomio.

Si dice potenza di un monomio il prodotto di tanti monomi uguali, tante volte quanto è il valore dell’esponente.

Proprietà: la potenza di un monomio è un monomio avente:

1. per coefficiente, il coefficiente di partenza elevato all’esponente della potenza
2. per parte letterale tutte le lettere presenti elevate all’esponente della potenza.

Ad esempio.

• (-2a)⁴ = (-2a)*(-2a)*(-2a)*(-2a) = +16a⁴

Una volta definite tutte le varie operazioni possibili all’interno del calcolo delle varie Espressioni Algebriche vediamo come risolverle praticamente.

Nella risoluzione di un’espressione è fondamentale sapere come effettuare le operazioni sopra definite. In effetti ci sono delle regole di calcolo, legate all’ordine di esecuzione delle operazioni, che dobbiamo tenere a mente:

1. Le potenze hanno priorità assoluta;
2. Successivamente si effettuano le moltiplicazione e le divisioni nell’ordine in cui appaiono nel testo;
3. Infine si effettuano le addizioni e sottrazioni nell’ordine in cui appaiono nel testo.

Laddove queste regole non vengano rispettate si arriverà a dei risultati sbagliati. Quando si sarà più esperti nel calcolo si potranno effettuare 1) e 2) in maniera univoca.

Ci sono delle eccezioni a queste regole che derivano dall’uso delle parentesi. Esse danno un ordine di esecuzione delle operazioni differente e danno priorità ad un calcolo piuttosto che un altro. In tal caso si effettuano prima le tonde, poi le quadre e poi le graffe. In caso contrario, ovvero nel caso in cui non siano presenti le parentesi, vigono le regole precedenti.

Andiamo a risolvere insieme un’Espressione Algebrica così da capire meglio come procedere.

Esempio:

(3*5-5)² : (2²+1) * 2 =

= (15-5)² : (4+1) * 2 =                      Si effettuano prima le potenze dentro le parentesi

= 10² : 5 * 2 =                                  Si risolvono le parentesi tonde

= 100 : 5 * 2 =                                 Si effettuano le potenze

= 20 * 2 = 40                                   Si calcolano le divisioni/moltiplicazioni in ordine

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