Come studiare la parte della matematica che studia i vettori

di Redazione

Matematica 6 Giugno 2018

Piani cartesiani? Vettori? Rette? Punti? Rappresentazioni grafiche?

Tutte parole che suonano molto bene, ma sai esattamente di cosa stiamo parlando quando vengono nominate?

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Ma se sei incuriosito e vuoi saperne di più su questi strani termini, noi ti spiegheremo tutto quello che devi sapere sulla matematica vettoriale, partendo dal principio.

Sommario

Che cos’è un vettore?

Si definisce vettore l’entità algebrica corrispondente a un segmento orientato, dotata di un’intensità (anche detta modulo o valore assoluto), di una direzione e di un verso.

In matematica un vettore è un elemento di uno spazio vettoriale. I vettori sono quindi elementi che possono essere sommati fra loro e moltiplicati per dei numeri, detti scalari.

I vettori sono comunemente usati in fisica. Vengono usati per indicare grandezze che sono completamente definite solo quando sono specificati sia una magnitudine (o modulo) che una direzione ed un verso rispetto ad un altro vettore o un sistema di vettori.

Le grandezze che possono essere descritte in questo modo sono chiamate grandezze vettoriali. Esse sono in contrapposizione alle grandezze scalari che sono caratterizzate unicamente dallo loro magnitudine.

Il concetto matematico di vettore nasce dall’idea intuitiva di una grandezza fisica (come ad esempio spostamento, accelerazione e forza) caratterizzata da intensità, direzione e verso nello spazio tridimensionale.

A seguito dell’introduzione delle coordinate cartesiane una grandezza di questo tipo poteva essere rappresentata da una terna di numeri reali. Ovvero le componenti relative a tre direzioni spaziali di riferimento. Nella successiva formalizzazione matematica si è giunti a definire il concetto generale di spazio vettoriale, come insieme in cui è definita l’operazione di combinazione lineare di due o più elementi.

La più semplice e riduttiva rappresentazione di vettore è il segmento orientato.

Spazio vettoriale

I vettori sono definiti come facenti parte di uno spazio vettoriale; il piano cartesiano $\R^2$ inteso come piano affine con un punto fissato $O$ , è un esempio di spazio vettoriale.

Un vettore è rappresentato in tal caso come un punto del piano cartesiano determinato da una coppia di numeri reali $(x, y)$ . Disegnando una freccia che parte nell’origine $(0, 0)$ e arriva in $(x, y)$ , si ottiene la rappresentazione geometrica del vettore $(x, y)$ .

Nello spazio tridimensionale un vettore è analogamente una terna di numeri reali $(x,y,z)$ .

Componenti dei vettori

Collocato un vettore in un sistema (qualsiasi) di coordinate ortogonali, è possibile scomporlo rispetto agli assi di quest’ultimo.
Nel caso più generale (cioè nello spazio) un vettore è completamente determinato dalle sue proiezioni sugli assi x, y, z, che ne costituiscono le componenti vettoriali.
Tali componenti sono vettori, di verso concorde all’orientamento del vettore che costituiscono.
Detti versori (o vettori unitari) i vettori i, j, k di intensità pari a 1, configurati secondo gli assi del sistema, le componenti vettoriali sono date dal prodotto di questi ultimi con i fattori che ne determinano il modulo, detti componenti scalari.

Somma vettoriale

I vettori possono essere sommati e moltiplicati tra loro, ma solo seguendo queste regole.

Somma algebrica di vettori

La somma di due o più vettori si può ottenere, geometricamente, attraverso le seguenti regole.

Regola del parallelogramma: la somma di due vettori applicati a uno stesso punto corrisponde alla diagonale del parallelogramma che essi definiscono con le rispettive proiezioni.
Regola della poligonale: la somma di due o più vettori applicati in sequenza corrisponde al vettore che congiunge il punto di applicazione del primo all’estremità dell’ultimo.

Algebricamente, la somma di due o più vettori corrisponde al vettore le cui componenti risultano dalla somma delle componenti dei vettori addendi.

NOTA – La somma di vettori è un’operazione commutativa e associativa, cioè non dipende in alcun modo dall’ordinamento o dal raggruppamento degli addendi.

La differenza di due o più vettori risulta analogamente alla somma, a partire dalla definizione di vettore opposto.
Dato un vettore v, si definisce vettore opposto il vettore -v di pari intensità e direzione, ma di verso contrario.

La differenza di due vettori si ricava, quindi, dalla somma del primo all’opposto del secondo. Sono ugualmente applicabili le regole geometriche.

Prodotto tra vettori e scalari

Il prodotto sv tra un vettore v e una grandezza scalare s restituisce un nuovo vettore così caratterizzato:

l’intensità del nuovo vettore è pari al prodotto algebrico tra il termine scalare s e il modulo di v;
la direzione del nuovo vettore è pari alla direzione del vettore v;
il verso del nuovo vettore è pari al verso di v se il termine scalare s è positivo, contrario altrimenti.

NOTA – Il rapporto tra un vettore e una grandezza scalare s risulta, di conseguenza, dal prodotto tra il vettore stesso e il termine reciproco dello scalare, ossia 1⁄s.

Prodotto scalare

Dati due vettori, si definisce prodotto scalare (o prodotto interno) l’operazione corrispondente al prodotto algebrico tra i loro moduli e il coseno dell’angolo ϕ che sottendono.

Per definizione, il prodotto scalare ha le seguenti proprietà:

restituisce sempre un risultato scalare;
può essere riscritto come il prodotto algebrico tra il modulo del primo vettore e la componente scalare del secondo lungo la direzione del primo (o viceversa);
se i due vettori considerati sono sovrapposti l’angolo ϕ che sottendono misura 0°, nel qual caso cosϕ=1 e il prodotto scalare è pari al prodotto algebrico dei rispettivi moduli;
se i due vettori considerati sono ortogonali l’angolo ϕ che sottendono misura 90° o 270°, nel qual caso cos(ϕ)=0 e il loro prodotto scalare è necessariamente nullo.

NOTA – Il prodotto scalare è un’operazione commutativa e distributiva rispetto alla somma di vettori, ma non gode della proprietà associativa.

Questa era solo una breve introduzione all’argomento. Speriamo di aver risolto alcuni dei vostri dubbi più urgenti. I vettori sono vostri amici, non ne abbiate paura.