Come studiare le disequazioni: trucchi

Quanto era bella la matematica delle elementari? Quando i numeri erano numeri e non entravano in contatto con lettere o segni strani?

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Ma, ahimè, con l’avanzare dell’età è aumentata anche la difficoltà della matematica che si studia, classe dopo classe. I numeri si sono definitivamente uniti alle lettere, a strani simboli, fino ad arrivare a qualcosa di veramente incomprensibile: le disequazioni.

Lo spauracchio di moltissimi studenti, uno degli argomenti più complicati da capire e studiare: ecco perché lo vedremo insieme. Iniziamo da una domanda fondamentale:

Cosa sono le disequazioni?

Una disequazione, in matematica, è una relazione di disuguaglianza tra due espressioni che contengono delle incognite.

Risolvere una disequazione significa esplicitare l’insieme di valori  che rendono la disuguaglianza soddisfatta.

Proprio come per le equazioni, anche le disequazioni hanno delle regole precise da seguire per poter essere svolte.

Principi di equivalenza

Due disequazioni si dicono equivalenti se i rispettivi insiemi delle soluzioni coincidono. Vi sono due principi che consentono di manipolare le disequazioni per trovare l’insieme delle soluzioni.

Essi sono una conseguenza diretta delle proprietà delle disuguaglianze:

1. Principio di addizione: aggiungendo o sottraendo ai due membri di una disequazione una stessa espressione, si ottiene una disequazione equivalente.
   Ciò implica che si può eliminare da entrambi i membri uno stesso termine. Oppure si può spostarlo da un membro all’altro cambiandolo di segno (che equivale ad aggiungere il suo opposto).
   Ad esempio, la disequazione  è equivalente a  (abbiamo sommato  ad ambo i membri).

1. Principio di moltiplicazione: moltiplicando o dividendo i due membri di una disequazione per una stessa espressione che sia sempre positiva si ottiene una disequazione equivalente alla data. Allo stesso modo, moltiplicando o dividendo per un’espressione negativa, la disequazione sarà controversa alla data.
   Ciò implica che si può cambiare il segno a tutti i termini di entrambi i membri, purché si cambi anche il verso della disequazione (in effetti, ciò equivale a moltiplicare per ).
   Ad esempio la disequazione  è equivalente a  (abbiamo moltiplicato ambo i membri per ).

1. Principio di invarianza: in generale applicando una funzione strettamente crescente ad ambo i membri di una disequazione, si ottiene una disequazione equivalente. Invece applicando una funzione strettamente decrescente si inverte il segno della diseguaglianza.
   I due principi precedenti corrispondono ad applicare una funzione lineare .

Applicando il principio di addizione, e sottraendo il membro destro ad ambo i membri di una disequazione, lo studio di una qualunque disequazione si riconduce allo studio del segno di una funzione: , , .

Svolgimento

Lo svolgimento, ossia la ricerca delle soluzioni di una disequazione di primo grado, si sviluppa con le stesse modalità con cui si affronta un’equazione di primo grado. Ovvero attraverso l’applicazione consapevole delle proprietà accennate sopra si trasportano tutti i termini contenenti la x al primo membro e quelli privi della x al secondo membro.

Bisogna tenere presente una condizione importante: nel caso in cui al primo membro il coefficiente della x sia negativo occorre:

• moltiplicare per –1 sia il primo che il secondo membro;
• cambiare il verso della disuguaglianza, così che > diventi < (e viceversa) e diventi (e viceversa).

Comunque, in generale, vale la seguente regola:

Ogni volta che, in una disequazione, si moltiplicano/dividono ambo i membri per un numero negativo si deve cambiare il verso della disuguaglianza.
La moltiplicazione/divisione per un numero positivo non ha, invece, nessuna controindicazione.

E’ utile, al termine dei calcoli, eseguire un piccolo grafico ove possa determinarsi il campo dei valori che verificano la disuguaglianza.

E quando riportiamo i risultati su questo piccolo grafico, per convenzione, utilizziamo linee continue per indicare l’intervallo in cui la disequazione è soddisfatta. Mentre usiamo linee tratteggiate per indicare l’intervallo dove la disequazione non è soddisfatta.

Risoluzione

In generale, prima di risolvere una disequazione di secondo grado si risolve l’equazione associata
ax2 + bx + c = 0. Se a, b e c sono diversi da 0, allora l’equazione si dice completa.

A questo punto le possibilità sono tre:

1. 1) il delta è maggiore di 0;
   Se delta > 0, allora l’equazione ha due soluzioni reali e distinte x1, x2.
2. 2) il delta è uguale a 0;
   Se delta = 0, allora l’equazione ha una soluzione reale x1 (due soluzioni reali coincidenti).
3. 3) il delta è minore di 0.
   Se delta < 0, allora l’equazione non ha soluzioni reali.

A seconda che si annullino b oppure c oppure b e c, si ha un’equazione pura, spuria e monomia.
Questi casi rientrano nei precedenti.
L’equazione pura con a e c discordi rientra nel caso 1), l’equazione pura con a e c concordi rientra nel caso 3), l’equazione spuria rientra nel caso 1) e l’equazione monomia rientra nel caso 2).

Sistemi di disequazioni

E se ci troviamo davanti un sistema di disequazioni? Come si affronta? Come si risolve? E’ simile al sistema di equazioni?

Tutte queste domande troveranno presto risposta. Ecco come ci si comporta davanti a un sistema di disequazioni.

Le disequazioni che fanno parte del sistema si studiano separatamente, esattamente come visto in precedenza. Si riportano quindi i risultati ottenuti in una tabella contenente solo linee continue.

La risposta tiene conto soltanto degli intervalli che soddisfano contemporaneamente tutte le disequazioni presenti. Senza dimenticare che un sistema può essere privo di soluzioni.

In sostanza, per ciascuna disequazione, a seconda della tipologia, si risolve seguendo i metodi visti sopra. Per ciascuna di esse si farà il grafico opportuno e si troveranno delle soluzioni.

Alla fine, si riuniranno questi risultati “individuali” in un unico grafico in cui tracceremo solo linee continue, ciascuna delle quali, riga per riga, rappresenterà lo/gli intervallo/i in cui la corrispondente disequazione è soddisfatta. Ci saranno tante linee, quante sono le disequazioni.

La soluzione, se esiste, è data dal/dagli intervallo/i in cui compare un numero di linee pari al numero di disequazioni: infatti, questo è l’unico modo affinché tutte le disequazioni siano contemporaneamente soddisfatte.

Se non esiste nessun intervallo in cui questo accade, il sistema è impossibile, ovvero non ammette soluzioni (o, se preferite, l’insieme delle soluzioni è vuoto).

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