Come studiare le equazioni: trucchi per apprendere velocemente
Uno degli incubi più temuti dagli studenti sono le equazioni. Non importa, infatti, il grado o l’indirizzo della scuola che frequenti, ma non potrai sfuggire a questa tappa obbligatoria per tutti, sia per gli studenti delle medie che delle superiori.
Sommario
Cosa sono le equazioni?
Identità o equazione? Spesso questi termini vengono usati come sinonimi, ma, nonostante siano entrambe delle uguaglianze tra due espressioni letterali (tra due membri), non sono la stessa cosa.
Un’identità è verificata per qualunque valore si attribuisce alle lettere contenute nelle espressioni: a+a=2a (per qualsiasi valore di al’uguaglianza è verificata, ovvero il primo membro è uguale al secondo).
Un’equazione invece contiene delle lettere che rendono vera l’uguaglianza solo per un determinato valore. Risolvendo l’equazione quindi non facciamo altro che trovare questo valore.
I diversi tipi di equazione
Un’equazione è:
- INTERA: se l’incognita è presente solo al numeratore: x²+5x-6=0.
- FRATTA: se l’incognita compare anche al denominatore: 2/x+5x=8.
- LETTERALE: se oltre all’incognita x sono presenti anche altre lettere: 2a-5x+6=3a.
Possiamo classificare le equazioni anche in base al loro grado, ossia il massimo esponente con cui l’incognita compare nell’equazione:
ES: di primo grado (4x=5); di terzo grado (2x³+6x²-x-4=0).
Infine, in base alle sue soluzioni, un’equazione del tipo ax=b può essere:
- determinata: se ha un numero finito di soluzioni; quindi con a≠0 e b≠0.
- indeterminata: se ha infinite soluzioni; quindi se a=0 e b=0.
- impossibile: se non ha nessuna soluzione; quindi con a=0 e b≠0.
I princìpi di equivalenza
Prima di passare direttamente alla risoluzione di un’equazione bisogna sapere alcuni princìpi fondamentali che useremo in seguito per semplificare le equazioni da svolgere.
Prima di tutto dobbiamo sapere che due equazioni, aventi la stessa incognita, si dicono equivalenti quando hanno la stessa soluzione.
Le regole che ci permettono di semplificare un’equazione, trasformandola in altre ad essa equivalente, sono due:
Primo principio di equivalenza
Se si aggiunge ad entrambi i membri di un’equazione uno stesso numero, l’equazione è equivalente alla prima.
Secondo principio di equivalenza
Se si moltiplicano o si dividono i due membri di un’equazione per uno stesso valore (diverso da 0), si ottiene un’altra equazione equivalente alla prima.
Da questi princìpi possiamo ricavare delle regole fondamentali per la risoluzione delle equazioni:
Il trasporto: se si trasporta un termine da un membro all’altro bisogna cambiarlo di segno.
ES: 5x=6–2x → 5x+2x=6
La cancellazione: termini uguali presenti in entrambi i membri di un’equazione possono essere eliminati.
ES: x+1=3+1 → x=3
Il cambiamento di segno: cambiando di segno tutti i termini di un’equazione se ne ottiene un’altra equivalente.
ES: -2x+3=0 → 2x-3=0
La risoluzione di un’equazione lineare
Applicando le regole scritte in precedenza, bisogna portare l’equazione da svolgere nella forma normale ( o canonica), ovvero nella forma: ax=b; dove a viene chiamato coefficiente dell’incognita e b è il termine noto.
Infine, applicando il secondo principio di equivalenza, basta dividere entrambi i membri per il coefficiente della x e otterrai il risultato dell’equazione: x=b/a
Esempio: 8x-2=6x+16
◗ regola del trasporto 8x-6x=2+16
◗ forma normale 2x=18
◗ secondo principio x=18/2
◗ risultato x=9
La risoluzione di un’equazione di secondo grado
In questo caso bisogna sempre trasformare l’equazione data in forma normale, che però non sarà più la stessa forma di prima bensì la seguente: ax²+bx+c=0. Attenzione però! Il termine noto stavolta non è più b, ma diventa c.
Per la risoluzione di questo tipo di equazioni non bastano più i princìpi di equivalenza, ma va usata la formula risolutiva: (-b±√(b²-4ac))/2a. In questa formula l’argometo della radice prende il nome “delta”: Δ=b²-4ac.
Esempio: -2x²+3x+2=0
◗ cambio di segno 2x²-3x-2=0
◗ formula risolutiva (3±√(9+16))/4
◗ trovo le due soluzioni x₁=-1/2; x₂=2
Le equazioni fratte
Se le equazioni di primo e secondo grado non ti sono sembrate così complicate, non cantare ancora vittoria! Le equazioni fratte sono le più diffuse e sono alla base dell’algebra, per questo conviene saperle risolvere!
Prima di passare direttamente allo svolgimento dell’equazione, è necessario precisare le condizioni di esistenza (C.E.) di un’equazione fratta.
Queste non sono altro che l’insieme delle soluzioni dell’equazione per le quali questa non assume nessun significato, e quindi è impossibile da risolvere.
Una soluzione sarà accettabile, quindi, solo se rispetta le condizioni di esistenza.
Esempio: x/(x-1)=2
◗ condizioni di esistenza C.E.: x≠1
(perchè se x fosse uguale ad 1 l’equazione sarebbe impossibile ⤑x/0 è una forma indeterminata.)
◗ trasporto x/(x-1)-2=0
◗ m.c.m (x-2(x-1))/(x-1)=0
◗ secondo principio x-2(x-1)=0
◗ forma normale x-2x+2=0 ⟶ -x+2=0 ⟶ -x=-2
◗ cambio di segno e trovo la soluzione x=2
Le equazioni letterali
Nella soluzione di questo tipo di equazioni è necessario discutere per quali valori delle lettere presenti, l’equazione risulta determinata, indeterminata o impossibile
Esempio: (1-x)/6=2/a
◗ C.E. a≠0
◗ forma normale a(1-x)=12
◗ discussione:
Se a≠0 allora l’equazione è determinata:1-x=12/a ⟶ x=1-12/a ⟶ x=(a-12)/a.
Se a=0 allora l’equazione è impossibile: 0(1-x)=12 ⟶ 0=12 ⟶ senza significato.
Equazioni e problemi
Ma non finisce qui! Possiamo infatti risolvere un problema anche attraverso un’equazione. Basta tradurre il testo del problema in un’uguaglianza in cui è presente l’incognita.
Esempio: “Luca e Andrea posseggono rispettivamente € 200 e € 180. Luca spende € 10 al giorno, mentre Andrea ne spende € 8. Dopo quanti giorni avranno la stessa somma?”
A prima vista questo problema può sembrare complicato, ma in realtà è sufficiente saper individuare l’incognita e il gioco è fatto!
Ovviamente la nostra x in questo caso sono i giorni. Quindi bisogna uguagliare i soldi spesi da Luca con quelli spesi da Andrea:
- equazione: 200-10x=180-8x
- trasporto: -10x+8x=180-200⟶-2x=-20
- cambio di segno: 2x=20
- secondo principio: x=10
