Come studiare le formule di geometria piana

di Redazione

Matematica 20 Luglio 2018

La geometria è da sempre una delle materie meno apprezzate dagli studenti.

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Sommario

Ma esattamente cos’è la geometria?

La geometria è quella parte della scienza matematica che si occupa delle forme nel piano e nello spazio e delle loro mutue relazioni. Essa si divide specialmente in:

geometria piana: che si occupa delle figure geometriche nel piano. A partire dal concetto primitivo di retta, vengono costruiti i segmenti, e quindi i poligoni come il triangolo, il quadrato, il pentagono, l’esagono, ecc.
geometria solida: che studia le costruzioni geometriche nello spazio. Con segmenti e poligoni si costruiscono i poliedri, come il tetraedro, il cubo e la piramide.

In questo articolo andremo a parlare nel dettaglio della prima: la geometria piana, le sue proprietà e le sue formule. Il tutto sarà focalizzato a capire come studiare meglio questa difficile materia.

La geometria piana

Per geometria piana si intende quel ramo della geometria euclidea orientato, appunto, al piano.

Ma esattamente, cosa si intende per geometria euclidea? Ve lo siete mai chiesto?

La geometria euclidea è un sistema matematico attribuito al matematico alessandrino Euclide, che la descrisse nei suoi Elementi. La sua geometria consiste nell’assunzione di cinque semplici e intuitivi concetti, detti assiomi o postulati, e nella derivazione, da detti assiomi, di altre proposizioni (teoremi) che non abbiano alcuna contraddizione con essi.

Questa organizzazione della geometria permise l’introduzione della retta, del piano, della lunghezza e dell’area. Sebbene molte delle conclusioni di Euclide fossero già conosciute dai matematici, egli mostrò come queste potessero essere organizzate in una maniera deduttiva e con un sistema logico.

Gli Elementi di Euclide iniziano con un’analisi della geometria piana, attualmente insegnata nelle scuole secondarie ed utilizzata come primo approccio alle dimostrazioni matematiche, per poi passare alla geometria solida in tre dimensioni.

I cinque postulati

I 5 postulati di Euclide sono:

Tra due punti qualsiasi è possibile tracciare una ed una sola retta;
Si può prolungare un segmento oltre i due punti indefinitamente;
Dato un punto e una lunghezza, è possibile descrivere un cerchio;
Tutti gli angoli retti sono congruenti tra loro;
Se una retta che taglia altre due rette determina dallo stesso lato angoli interni minori di due angoli retti, prolungando le due rette, esse si incontreranno dalla parte dove i due angoli sono minori di due retti.

Ed è proprio da questi postulati che prende le basi la geometria piana.
Vediamo quindi i principali soggetti dello studio della geometria piana: i poligoni.

I poligoni

La parola “poligono” deriva dal greco πολύς (polys, “molti”) e γωνία (gōnia, “angolo”).

In geometria un poligono è una figura geometrica piana delimitata da una linea spezzata chiusa. I segmenti che compongono la spezzata chiusa si dicono lati del poligono e i punti in comune a due lati consecutivi si dicono vertici del poligono.

Ricordiamo che una linea spezzata è l’insieme finito e totalmente ordinato di segmenti, detti lati, che sono ordinatamente consecutivi e ordinatamente non adiacenti. Una linea spezzata è chiusa quando il secondo estremo dell’ultimo segmento coincide con il primo estremo del primo.

Una linea spezzata è semplice (o non intrecciata) se due lati non successivi, secondo l’ordinamento assegnato, non si intersecano (a parte il primo e l’ultimo lato che possono avere in comune rispettivamente il primo e il secondo estremo).

Come vengono classificati i poligoni?

Ci sono più fattori che contribuiscono alla classificazione dei diversi poligoni, vediamoli insieme.

Numero di lati

Una prima classificazione di un poligono riguarda il suo numero di lati.

Convessità

Un poligono è: semplice se i lati del poligono non si intersecano.

Mentre è complesso (o intrecciato) se non è semplice.

Un poligono semplice è: convesso se ogni angolo interno è minore o uguale ad un angolo piatto (o, equivalentemente, se il prolungamento immaginario di ogni segmento che congiunge due suoi vertici va al di fuori del poligono).

Mentre è concavo se anche un solo angolo interno è maggiore di 180° (o, equivalentemente, se il prolungamento immaginario di uno o più segmenti cade all’interno del poligono).

Simmetria con uguaglianza

In base alla simmetria, un poligono è: equilatero se tutti i suoi lati sono uguali.

Equiangolo se tutti i suoi angoli sono uguali.

Ciclico se tutti i suoi vertici giacciono su un’unica circonferenza.

Regolare se è convesso, equilatero ed equiangolo (o, equivalentemente, se è ciclico ed equilatero).

Irregolare se non è regolare.

Ora passiamo invece a scoprire le proprietà che può avere ogni poligono.

Le proprietà

Angoli

La somma degli angoli interni di un poligono è pari a tanti angoli piatti quanti sono i suoi lati $l$ , meno due

180^{\circ }\times (l-2).

Ad esempio, il poligono in figura ha cinque lati, e quindi:

\alpha +\beta +\gamma +\delta +\varepsilon =(5-2)\times 180^{\circ }=540^{\circ }.

La dimostrazione può essere svolta per induzione: in un triangolo la somma degli angoli è $180^{\circ }$ , e preso un qualunque poligono una sua diagonale lo divide in due altri poligoni con un numero minore di lati, per cui si può far valere l’ipotesi induttiva.

La somma degli angoli esterni di un poligono convesso con $n$ lati è uguale a

(360^{\circ }\times n)-[180^{\circ }\times (n-2)]=180^{\circ }\times (n+2).

In quanto la somma di tutti gli angoli esterni ed interni è, evidentemente, uguale a $n$ volte un angolo giro: sottraendo al totale la somma di quelli interni, avremo la somma di quelli esterni.

Area

L’aera di un poligono con $n$ aventi coordinate cartesiane $(x_{i};y_{i})_{{i=1,\ldots ,n}}$ si calcola nel modo seguente:

A={\frac {1}{2}}\left|\sum _{{i=1}}^{{n}}x_{i}y_{{i+1}}-\sum _{{i=1}}^{{n}}x_{{i+1}}y_{i}\right|

con la convenzione che $(x_{{n+1}};y_{{n+1}})=(x_{1};y_{1})$ .

Con questa formula possiamo ricavare una superficie di una qualsiasi figura piana attraverso le coordinate dei suoi vertici. È una formula molto utilizzata nella topografia e nella trigonometria.

Ma esiste una versione molto più facile di quella formula per le figure che di solito si studiano a scuola. Ecco nel dettaglio l’area applicata a diversi poligoni:

Triangolo: L’area $A$ del triangolo può essere misurata con la formula matematica:

A={\frac {bh}{2}},

dove b è la base e h l’altezza ad essa relativa.

Quadrato: L’area di un quadrato, visto che l’altezza e la base sono congruenti, misura:

{\mbox{lato}}^{2}

Rettangolo: L’area di un rettangolo è data dalla formula:

$A\,=\,b\cdot h$

Trapezio: L’area $A$ del trapezio si può calcolare facendo la somma delle basi per l’altezza il tutto diviso due.

A={\frac {h\cdot (B+b)}{2}}

Rombo: L’area del rombo si può calcolare come per tutti i parallelogrammi, effettuando il prodotto della base $a$ , coincidente con il lato del rombo, per l’altezza $h$ :

A=a\cdot h,

Questa era una breve introduzione alla geometria piana.

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