Cosa sono le funzioni matematiche? Spiegazione completa
Uno degli argomenti più importanti della matematica sono le funzioni. Queste si studiano soprattutto nell’ultimo anno delle superiori e costituiscono l’oggetto principale su cui verte di solito la seconda prova dell’esame di maturità del liceo scientifico.
Rappresentano anche un enorme ostacolo anche per coloro che si trovano al primo anno di università, i quali dovranno affrontare l’esame di analisi 1. Ora però vediamo insieme come studiarle nel modo più semplice.
Sommario
Cosa sono le funzioni matematiche
Dati due insiemi A e B, una funzione è una relazione che associa ad ogni numero reale di A uno e un solo numero di B.
Per esempio se prendiamo in considerazione la funzione y=3x+5, questa associa a ogni valore di x un solo valore di y.
L’insieme A viene detto dominio della funzione, mentre l’inseme B, formato dalle immagini degli elementi di A, è detto codominio. Allo stesso modo la x viene detta variabile indipendente e la y variabile dipendente perché appunto dipende dai valori attribuiti alla x.
Esistono due forme per descrivere una funzione: la forma implicita (-3x+y-5=0) e la forma esplicita (y=3x+5) che è la più usata.
Classificazione delle funzioni
Una funzione algebrica può essere:
- Razionale intera (o polinomiale) quando al suo interno contiene dei polinomi. Se sono di primo grado sarà lineare, se di secondo grado la chiameremo quadratica.
- Razionale fratta se contiene al denominatore l’incognita x.
- Irrazionale se la variabile x è contenuta all’interno di una radice.
Esistono altri tipi di funzioni che non sono algebriche e si chiamano trascendenti, come ad esempio la funzione y=sin(x) o la funzione esponenziale y=e^x.
Il dominio di una funzione
Chiameremo dominio della funzione l’insieme più grande dei valori reali che si possono assegnare alla x affinché esista il corrispondente valore della y. Detto in questo modo, trovare il dominio di una funzione può sembrare una cosa molto complicata; in realtà è molto più facile a farsi che a dirsi.
Per prima cosa ci conviene trovare il campo (o condizioni) di esistenza della funzione che molto spesso viene erroneamente confuso con lo stesso dominio. Il C.E. non è altro che l’insieme dei valori della x per i quali la funzione è definita.
Se quindi, per esempio, abbiamo la funzione y=(3x+2)/(x-5), essa non esisterà nel caso in cui il denominatore sia uguale a 0; pertanto il nostro campo di esistenza sarà C.E.: x≠5. Per indicare il dominio, invece, scriveremo: D=]-∞,5[∪]5,+∞[; dove le parentesi quadre indicano gli intervalli i cui valori possono essere assegnati alla funzione affinché esistano dei valori della y.
Se due funzioni hanno lo stesso dominio, esse sono funzioni uguali.
Proprietà delle funzioni
Funzione Iniettiva
Prendendo in considerazione due insiemi A e B, una funzione viene definita iniettiva se ogni elemento di B è immagine al più di un elemento di A. Ciò significa che se per esempio prendiamo in considerazione una funzione qualsiasi del tipo y=ƒ(x), ogni valore delle y deve essere associato al massimo ad un solo valore delle ascisse (come la retta in figura).
La funzione della parabola nella seconda figura, non può essere definita iniettiva perché per uno stesso valore delle ordinate corrispondono ben due valori delle x.
Funzione Suriettiva
Un altro tipo di funzioni sono quelle suriettive, ovvero in cui ogni elemento di B è immagine almeno di un elemento di A. Quindi qualunque valore tu scelga sull’asse delle y deve essere associato almeno ad un elemento delle x.
Nell’immagine che segue è rappresentata una funzione suriettiva perché, come potrai vedere, a qualunque punto delle ordinate ne corrisponde almeno uno delle ascisse, anzi a volte ne corrispondono anche di più.
La seconda funzione, invece, esiste solo al di sopra dell’asse x, quindi nessuna ordinata negativa può essere associata con una x; pertanto la funzione non è suriettiva.
Funzione Biunivoca
Una funzione si dice biunivoca o biettiva se è sia iniettiva e sia suriettiva, quindi se ogni valore scelto sull’asse y corrisponde ad uno e un solo valore sull’asse x; come nel caso in figura.
Funzioni Pari e Dispari
♦Una funzione è pari quando ƒ(-x)=ƒ(x) , essa quindi sarà simmetrica rispetto all’asse delle ordinate (come nella figura 1). Una funzione del tipo y=x²+1 è pari, perché, calcolando ƒ(-x), avremo che ƒ(-x)=(-x)²+1 ⇒ y=x²+1 , ovvero ƒ(x).
♦ Se in una funzione ƒ(-x)=-ƒ(x) , allora questa sarà dispari, e, come il grafico della seconda figura, sarà simmetrica rispetto all’origine degli assi. Ad esempio, y=x³-x è una funzione dispari perché ƒ(-x)=(-x)³-(-x)=-x³+x che equivale a y=-(x³-x) quindi è vero che ƒ(-x)=-ƒ(x).
Le funzioni però non sono come i numeri che devono essere per forza pari o dispari. Una funzione infatti può anche non possedere nessuna delle due proprietà, in questo caso diremo che non c’è parità.
Nel caso della funzione y=x³-1, se calcolassimo ƒ(-x), otterremmo una funzione diversa da quella di partenza, ovvero y=(-x)³-1=-x³-1=-(x³+1), che non coincide né con ƒ(x) e né con -ƒ(x). Pertanto la funzione non sarà simmetrica né con l’asse y e né con l’origine.
Funzioni Periodiche
Considerando una funzione y=ƒ(x) , viene definita periodica, di periodo T, se, per qualsiasi numero k intero, si ha: ƒ(x)=ƒ(x+kT) . Essendo periodica, una funzione di questo tipo si ripete nel grafico in ogni intervallo T; le funzioni sin(x) e cos(x) ad esempio ripetono il loro andamento ogni 2π, mentre le funzioni tangente e cotangente hanno come periodo π.
Funzioni Inverse
Data la funzione biunivoca y = ƒ(x) da A a B, la funzione inversa di f è la funzione biunivoca x = ƒ^(-1)(y) da B ad A. Quando una funzione ammette la sua inversa, allora si dice invertibile. Nel caso in cui non lo fosse, è possibile effettuare una restrizione del dominio per rendere la funzione biunivoca.
Ricorda!: il grafico di una funzione e quello della sua inversa sono simmetrici rispetto alla bisettrice del primo e del terzo quadrante.
