Cosa studia la matematica finanziaria?
L’evoluzione dell’economia, dall’antichità ai giorni nostri, ha ampliato il campo d’azione della matematica finanziaria, aiutata dalle continue scoperte che i matematici hanno raggiunto nel corso dei secoli. L’economia, punto fondamentale della vita sociale di un paese, ha avuto dalla matematica un valido aiuto per la soluzione di problemi.
Oggi questa disciplina si può considerare la parte della matematica che ha maggior impatto con la realtà, forse
perché la formazione matematica in generale è mirata alla conoscenza di argomenti di carattere algebrico o geometrico, mentre la matematica finanziaria risolve problemi tecnici dando una maggiore attenzione al risultato a scapito del metodo risolutivo. Vediamo ora di cosa si occupa realmente questa materia.
Sommario
Che cos’è la matematica finanziaria
La matematica finanziaria si occupa di tutti i problemi relativi al denaro e al suo impiego. Il denaro è lo strumento con cui possiamo effettuare operazioni commerciali, infatti con il denaro compriamo e vendiamo merci. Le operazioni finanziarie quindi consistono nello scambio di denaro a una certa data con altro denaro a un’altra data e i soggetti coinvolti in genere sono due, il creditore e il debitore.
Il creditore è colui che presta il denaro, mentre il debitore è colui che lo prende in prestito.
Le principali operazioni analizzate dalla matematica finanziaria sono:
- Capitalizzazione: che consiste nel trasferimento in avanti nel tempo dei valori monetari.
- Attualizzazione: ovvero il trasferimento indietro nel tempo dei valori monetari.
Le grandezze della matematica finanziaria
Innanzi tutto dobbiamo definire le grandezze fondamentali di un’operazione finanziaria, che sono:
- il CAPITALE: ovvero la somma di denaro prestato e si indica con la lettera C.
- l’INTERESSE che è il compenso che il creditore richiede per il prestito effettuato e si indica con la lettera I.
- il MONTANTE è ciò che il debitore deve tornare al suo creditore, quindi sarà M=C+I.
- Il TEMPO è l’intervallo di tempo che intercorre fra il prestito e la restituzione del montante e si indica con la lettera t.
- Il TASSO D’INTERESSE è una percentuale e si indica con la lettera i. Questa percentuale dipende sia dalla soma di denaro prestata e sia dal tempo che il debitore impiega per risanare il suo debito. Questo tasso dipende dal denaro che c’è in circolazione. Comunque in generale il tasso di interesse viene deciso dalle banche centrali ( quella dell’Italia o dell’Europa ad esempio), le quali decidono il tasso in base agli obbiettivi che esse hanno per la crescita economica. Possiamo definire il tasso d’interesse come il “costo” del denaro.
L’interesse semplice e composto
I procedimenti per il calcolo del montante vengono chiamati i regimi d’interesse e i più importanti sono: il regime dell’interesse semplice e il regime dell’interesse composto.
INTERESSE SEMPLICE
In questo regime finanziario gli interessi sono direttamente proporzionali al capitale ed al tempo di investimento, proprio per tale caratteristica si dice che il regime dell’interesse semplice è una funzione lineare del tempo.
La formula per calcolare l’interesse semplice è la seguente: I=C•i•t
Pertanto la formula per calcolare il montante, sapendo che M=C+I, sarà: M=C+C·i·t ⇒ M=C(1+i·t)
Il termine nella parentesi,(1+i·t), viene definito come fattore di capitalizzazione semplice e viene indicato con r.
ESEMPIO: Se Mario presta 100€ a Lucia, e il tasso d’interesse è al 2%, a fine anno, questa dovrà ritornare a Mario 102€; infatti M=100·(1+0,02·1)=102. Se Lucia, invece, vuol pagare a Mario il suo debito in due anni, allora gli dovrà restituire 104€. Questo perché M=100·(1+0,02·2)=104
INTERESSE COMPOSTO
Nella capitalizzazione semplice, l’interesse maturato può essere riscosso solamente al termine della durata dell’investimento del capitale. Si può, però, considerare il pagamento periodico degli interessi semplici, ossia dopo un anno o una frazione di anno, si rendono disponibili gli interessi maturati.
In questi casi, gli interessi dovuti non vengono direttamente ritirati dal creditore, ma vengono capitalizzati, ovvero vengono aggiunti al capitale preesistente.
L’interesse non viene più calcolato sul capitale iniziale, bensì sul capitale incrementato. Possiamo dire, quindi, che l’interesse produce ulteriore interesse.
Il montante a interesse composto si ottiene moltiplicando il capitale per il fattore di capitalizzazione composta che corrisponde a 
. Quindi avremo che .
ESEMPIO: Calcolare a il montante composto prodotto da un capitale di 3000€ in 15 anni al 4% annuo.In questo problema dobbiamo calcolare prima l’interesse composto con la formula scritta il precedenza:
Poi calcoliamo il montante composto, sapendo che il tempo è di 15 anni e il capitale è di 3000€:, pertanto il debitore dovrà restituire circa 5402€.
CAPITALIZZAZIONE SEMPLICE E COMPOSTA A CONFRONTO
Se volgiamo mettere a confronto i due tipi di capitalizzazioni, lo possiamo fare attraverso dei grafici. Vediamo come qui, ancora di più rispetto a prima, entra in gioco la matematica finanziaria.
Come vedi dal grafico, il montante ad interesse composto cresce in forma esponenziale (curva rossa), mentre il montante ad interesse semplice cresce come una retta (blu).
Per periodi inferiori ad un anno, il grafico del montante semplice è superiore al grafico del montante ad interesse composto.
Successivamente, invece, l’andamento delle curve si ribalta e il montante composto cresce più del montante ad interesse semplice.
Lo sconto commerciale
Una persona che deve riscuotere un certo importo a una data scadenza, può realizzare anticipatamente il suo credito secondo le seguenti modalità:
- il debitore riscatta il suo debito, cioè lo paga in anticipo;
- una terza persona, in genere una Banca, anticipa al creditore l’importo che si farà poi rimborsare
dal debitore alla scadenza.
Se accade ciò che è descritto nel primo caso, il debitore avrà diritto ad un compenso per aver riuscito ad estinguere il suo prestito prima della data di scadenza.
Lo sconto consente di ridurre il capitale da pagare alla scadenza in proporzione al capitale, al tempo e al tasso d’interesse.
Il tasso di sconto commerciale si esprime in percentuale e lo indicheremo con r. Lo sconto dipenderà anche dal numero di anni di anticipo con il quale si risana il debito e viene indicato con la lettera n.
Lo sconto si calcola attraverso la seguente formula: .
ESEMPIO: Carlo ha un debito di 150€ che deve restituire con un tasso di interesse al 5%. Carlo riesce a ritornare i soldi con un anno di anticipo dalla scadenza. Egli quindi potrà usufruire di uno sconto. Per calcolarlo basterà applicare la formula dello sconto commerciale: .
Alla fine, quindi, Carlo non dovrà restituire 150€, ma ne dovrà versare 150€-7,50€=142,50€
