La parola Logica deriva dal Greco “Logos” che aveva molti significati. Esso poteva riferirsi alla sua accezione più comune che significava “linguaggio”, oppure “frazione” dal punto di vista matematico, oppure poteva riferirsi al “pensiero”.Coloro i quali studiano la matematica si ritrovano spesso ad affrontare il tema della logica matematica. E’ qualcosa di totalmente diverso dall’ordinarietà dello studio di problemi pratici e numerici. La Logica studia i rapporti, tutto ciò che si può rapportare, i cosiddetti “commensurabili”.

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Definizione di logica.

La Logica Matematica è quel settore della matematica che studia i sistemi formali, cioè il modo di redigere i concetti e le dimostrazioni (dei teoremi, proposizioni ed affini) per far si che essi siano chiari e precisi. Essa può riferirsi allo studio matematico oppure lo studio del ragionamento matematico. Oggigiorno però racchiude i due significati, cioè si cerca di studiare il pensiero matematico poiché esso è un tipo di pensiero preciso ed ordinato.

La logica è quindi la redazione di proposizioni. Esse possono assumere due stati di veridicità: VERO o FALSO. Nella Logica Matematica non esistono altri stati della proposizione. In altre parole una proposizione è un’affermazione che esprime un valore di verità.

Esempio:

• “100 è un numero pari” (A)
• “Il cielo è nero a pallini viola” (B)

Le due frasi sono due proposizioni di cui una vera (A) e una falsa (B).

NON sono proposizioni tutte quelle affermazioni che esprimono un concetto soggettivo, cioè non sono proposizioni le frasi come:

• “Mi piace la verdura”
• “Mi piacerebbe viaggiare”

Esse infatti esprimono un piacere e un desiderio che non può essere definito come vero o falso in maniera assoluta.

I Connettivi.

Le proposizioni possono essere combinate tra loro tramite i connettivi (“e”, “o”, “non”, “se… allora”, ecc.). Essi hanno il compito di legare tra loro più proposizioni e il risultato di questa composizione viene chiamato enunciato. Quelle semplici invece, ovvero non ottenute mediante l’uso di connettivi, vengono definite atomiche.

Ad esempio:

• “90 è divisibile per 3” è una proposizione atomica
• “Se ci sarà il sole allora andrò a giocare a pallone” è un enunciato composto da “Ci sarà il sole” e “andrò a giocare a pallone” legate dal connettivo “Se… Allora…”

Il Linguaggio Formale

Il modo di parlare che l’uomo ha prodotto durante la sua evoluzione (indipendentemente dalla lingua parlata) è troppo complesso e pieno di ambiguità derivati da interpretazioni soggettive delle cose. Per evitare ciò i matematici hanno dovuto sviluppare un linguaggio semplice, chiaro e privo di ambiguità che chiameremo linguaggio formale.

A tal fine fu sviluppato un alfabeto, cioè un insieme di simboli atti a costruire delle frasi (una sequenza di simboli appartenenti al nostro alfabeto). Successivamente verrà definita una sintassi cioè delle regole che definiscono l’ordine che devono assumere i simboli per essere accettati. Essa si occupa solo dell’ordine dei simboli e non della veridicità di ciò che viene detto.

Ad esempio:

• 5x(2+8)=50: è una formula sintatticamente corretta
• 5x(=50)2+8: è una formula sintatticamente non corretta
• 5x(2+8)=100: è una formula sintatticamente corretta (non è importante se il contenuto sia vero)

Possiamo dire quindi che la sintassi ha il compito di fornire delle regole per formulare delle Frasi Ben Fatte . La discussione del contenuto avverrà soltanto successivamente, quando avremo di fronte delle frasi sintatticamente corrette.

I simboli che vengono utilizzati generalmente per la redazione di Frasi Ben Fatte sono i seguenti:

• ¬ : indica il “non” cioè nega la proposizione. A volte viene anche indicato con una barra orizzontale sopra la lettera indicante la proposizione.
• ˄ : designa l’ “e” come congiunzione.
• ˅ : indica l’ “o” come disgiunzione.
• → : è utilizzata per indicare l’implicazione.
• Simboli per indicare le proposizioni: A, B, C, …
• Simboli accessori come le parentesi: ( e )

I simboli ¬, ˄, ˅, → hanno degli ordini di priorità per evitare l’uso eccessivo di parentesi, che altrimenti darebbero luogo ad interpretazioni secondo la priorità che ognuno darebbe nel leggere le proposizioni ed i simboli. La priorità più alta ce l’ha ¬, poi ˄, poi ˅, infine → .

Le Frasi Ben Fatte.

A questo punto la domanda è la seguente: una volta stabiliti simboli, sintassi e priorità, a cosa serve saper formulare queste proposizioni?

In parte abbiamo già risposto a questa domanda dicendo che la logica di per se serve per redigere teoremi e dimostrazioni senza ambiguità e in maniera chiara. Ma il saper formulare questo tipo di proposizione è necessario soprattutto per il calcolo proposizionale. Il calcolo proposizionale non è altro che il manipolare delle proposizioni e dei connettori al fine di stabilirne la veridicità finale.

Come abbiamo detto prima alle proposizioni, più in particolare alle Frasi Ben Fatte, possiamo attribuire un valore di veridicità.

I valori possibili in logica come anticipato sono due: VERO (indicato con V) o FALSO (indicato con F). Una volta stabilito ciò si può procedere con la redazione di Tavole della Verità. Le Tavole sono utili poiché sono semplici da redigere ma molto efficaci.

Ad esempio

In questa Tavola della Verità abbiamo il risultato dell’operatore di implicazione. Ovvero A implica B. Nel caso in cui A sia vera e B sia vera, allora A implica B è vera e così via. Per ogni operatore è possibile restituire una tabella simile.

I Paradossi.

Abbiamo parlato del modo di redigere un concetto e della sintassi che è necessario avere per far si che si possa effettivamente redigere una frase. Molto spesso però, soprattutto in filosofia, ci troviamo di fronte ai cosiddetti Paradossi. Essi sono molto importanti poiché sono il germe che ha dato vita all’approccio dello studio della logica matematica.

Che cos’è un paradosso? Paradosso deriva dal greco e significa “andare contro l’opinione comune”. In altre parole redigere un ragionamento che va contro la logica comune.

Un esempio di paradosso può essere quello del mentitore. Supponiamo di essere davanti ad un giudice mentre stiamo dando la nostra testimonianza riguardo ad un accaduto. Lui però è in dubbio riguardo al fatto che stiamo dicendo la verità, quindi ci pone la domanda “Stai dicendo la verità?”. E noi a questa domanda rispondiamo “No, io sto mentendo”. Questa risposta però non ha molto significato poiché:

• Supponiamo che io stia mentendo, significa che io sto dicendo il falso. Quindi l’ipotesi che l’affermazione “”o sto mentendo “ sia vera, è contraddittoria, porta quindi alla sua contraddizione.
• Supponiamo quindi che la frase “Io sto mentendo” sia falsa. Allora è vero il suo contrario, quindi sto dicendo il vero.

In ambedue i casi si arriva ad una contraddizione. Ed è per questo motivo che nasce la Logica Matematica.

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