Esercizi pratici e problemi di geometria
Quando si studia la matematica, specialmente la geometria, non basta imparare le formule e i teoremi a memoria, ma bisogna anche essere in grado di saper risolvere gli esercizi e i problemi che i nostri professori ci assegnano. Questo perché i problemi non solo, attraverso la logica, stimolano e migliorano il ragionamento, ma ci aiutano anche a prepararci per i problemi della vita di tutti i giorni.
Di solito i problemi di geometria rappresentano l’incubo peggiore per chi studia matematica. Forse perché non esiste un modo comune per risolvere tutti i problemi, ma ogni esercizio ha il proprio procedimento.
Vediamo ora alcune principali tipologie di problemi di geometria che di solito si incontrano dalle scuole medie alle superiori.
Sommario
Problemi di geometria con dimostrazione
La maggior parte degli esercizi di geometria chiedono di trovare, attraverso dei dati che si hanno a disposizione, la misura di qualche elemento (un lato o un angolo ad esempio) di una figura geometrica.
Durante il biennio delle scuole superiori, però, soprattutto dei licei, viene chiesto agli studenti di dimostrare la tesi del problema attraverso i teoremi che essi hanno studiato.
In questi tipi di esercizi, quindi, non bisogna fare calcoli o procedimenti algebrici, ma ,partendo dalla ipotesi data dalla traccia del problema, si deve giungere alla tesi da dimostrare.
Facciamo un esempio: “Dato il triangolo ABC si prolunghino i lati AB ed AC oltre A di due segmenti AD=AB ed AE=AC. Dimostrare che sono congruenti i segmenti BC e DE“.
In questo caso, la nostra ipotesi è che AD=AB ed AE=AC. Per dimostrare la tesi dobbiamo considerare due teoremi:
- Il teorema degli angoli opposti al vertice, grazie al quale possiamo dimostrare che gli angoli opposti ad un vertice sono congruenti, quindi EÂD≅BÂC;
- E il primo teorema di congruenza dei triangoli, secondo il quale due triangoli, aventi due lati e l’angolo tra essi congruenti, sono congruenti.
Grazie a questi due teoremi possiamo quindi dimostrare che i due triangoli sono congruenti, pertanto saranno uguali anche le loro “basi”, ovvero BC=ED.
Esercizi di geometria piana
Oltre a quelli con la dimostrazione, esistono anche problemi di geometria riguardanti figure geometriche piane come poligoni, circonferenze e teoremi (come quello di Pitagora).
Nonostante questi problemi si affrontino principalmente durante i tre anni delle scuole medie, oppure durante il biennio delle superiori, e anche se sembrano apparentemente esercizi facili, non bisogna sottovalutarli perché potrebbero capitarti anche all’esame di maturità!
Nella simulazione dell’esame di stato 2019 (per i licei scientifici), ad esempio, viene chiesto ai candidati di risolvere un problema di geometria piana (quesito 4 della figura).
La traccia del problema è la seguente: “Il cerchio di raggio R centrato nel vertice in basso a sinistra del quadrato in figura ne ricopre metà della superficie; il cerchio di raggio r centrato nel centro del quadrato ne occupa metà della superficie. Sapendo che i quadrati sono equivalenti, determina il rapporto R/r.”
Il problema, a prima vista, potrebbe sembrare difficile, ma in realtà per risolverlo basta ricordare la formula per calcolare l’area del cerchio. Nella figura abbiamo due quadrati congruenti, la cui area la indicheremo con la lettera A.
Nel primo quadrato è presente un quarto di un cerchio di raggio R. Questa parte di cerchio ricopre metà dell’area del quadrato, pertanto avremo che (πR²)/4=A/2.
Nel secondo quadrato, è presente un altro cerchio, di raggio r, che ricopre, anch’esso, la metà della superficie del secondo quadrato. Quindi possiamo scrivere che πr²=A/2.
Il quesito ci chiede di trovare il rapporto tra i due raggi. Non ci resta altro che unire le due equazioni, aventi in comune A/2.
Quindi (πR²)/4=πr² ⇒ (
πR²)/4=πr² ⇒ R²/4=r² ⇒ R²/r²=4 ⇒ (R/r)²=4 ⇒ R/r=2.
Esercizi di geometria con i solidi
Per quanto riguarda la geometria euclidea nello spazio, i problemi di questo tipo vengono solitamente assegnati nelle scuole medie, e capitano frequentemente all’esame di terza media.
Esaminiamo ora un esercizio tipo, come il seguente: “Un parallelepipedo rettangolo ha i due spigoli di base che misurano 8 cm e 3 cm e la sua altezza misura 5 cm. Calcola la superficie totale e il suo peso sapendolo fatto di sughero (ps 0,25 g/cm³).”
Per prima cosa, dedichiamoci al calcolo della superficie totale del poliedro. Per fare ciò dobbiamo prima trovare l’area del rettangolo di base e poi la superficie laterale del parallelepipedo.
La prima sarà S(base)=ab (dove a e b sono gli spigoli di base), mentre per calcolare la seconda dovremo trovare prima il perimetro di base, e, in seguito, moltiplicare questo per l’altezza del solido: P=2(a+b) e S(laterale)=P*h=2(a+b)*h.
Per trovare la superficie totale basta sommare le aree, quelle di base e quella laterale.
Pertanto: S(totale)=2*S(base)+S(laterale)=2ab+[2(a+b)*h]=(2*8*3)+[2*(8+3)*5]=48+110=158 cm².
Il problema ci chiede di trovare anche il peso del nostro parallelepipedo fatto di sughero. Calcoliamo quindi il volume, ovvero V=S(base)*h=ab*h , e lo moltiplichiamo per il peso specifico che ci viene fornito dalla traccia:
Peso=V*ps=ab*h*ps=8*3*5*0,25=30 g.
Problemi di geometria analitica
Gli esercizi di geometria più diffusi sono però quelli che riguardano geometria analitica, che è di due tipi: nel piano (cartesiano) oppure nello spazio. Vediamo un esempio per ogni tipologia.
GEOMETRIA ANALITICA NEL PIANO
Esercizi di questo tipo riguardano soprattutto le rette e le coniche (parabola, circonferenza, ellisse e iperbole).
Uno dei problemi classici della geometria analitica sul piano cartesiano è quello in cui ci viene chiesto di trovare l’equazione di una conica. L’esercizio seguente, ad esempio, ci chiede di “Trovare l’equazione della circonferenza con centro in (2;3) e passante per (-1,6)“.
Se ricordi le formule generali della circonferenza, dobbiamo trovare un’equazione del tipo: (x-xc)²-(y-yc)²=r² , dove xc e yc sono le coordinate del centro e r è il raggio.
Le coordinate del centro ci vengono fornite dal problema, mentre per trovare il raggio dobbiamo calcolare la distanza tra il centro e il punto A=(-1,6). Applicando la formula per la distanza tra due punti e facendo due calcoli, avremo quindi che r=√18.
Adesso, non dobbiamo far altro che sostituire i dati all’equazione generale della circonferenza:
(x-xc)²-(y-yc)²=r² ⇒ (x-2)²-(y-3)²=18
Sviluppando i quadrati di binomio, possiamo scrivere che la circonferenza avrà come equazione: x²+y²-4x-6y-5=0.
GEOMETRIA ANALITICA NELLO SPAZIO
A differenza del problema precedente, stavolta i problemi non riguardano un piano, ma uno spazio, pertanto ci saranno 3 dimensioni e quindi i punti avranno 3 coordinate (esempio: P=(xp,yp,zp)).
Esempi di questi problemi li possiamo trovare anche nelle prove degli esami di Stato. Ad esempio, il quesito 5 della prova di matematica del 2015 diceva di “Determinare un’espressione analitica della retta perpendicolare nell’origine al piano di equazione x+y-z=0″ .
Innanzitutto, sappiamo che questa retta passa per l’origine, quindi avrà come equazioni parametriche: x=0+lt ; y=0+mt; z=0+nt (messe a sistema). Essendo perpendicolare al piano π=x+y-z=0, il suo vettore e quello del piano saranno paralleli: quindi i coefficienti direttivi della retta (l,m,m) saranno uguali ai coefficienti del paiano (1,1,-1).
Infine l’equazione della retta sarà: x=y=−z .
