Formule trigonometriche: trucchi per impararle
Se stai leggendo questo articolo sicuramente sarai alle prese con gli odiosissimi esercizi di trigonometria. Bene, allora posso consolarti nel dirti che tutti i tuoi dubbi a breve cesseranno di esistere. E’ noto che la risoluzione degli esercizi di trigonometria, nella maggior parte dei casi, si risolvono riducendo le equazioni utilizzando una serie di formule dall’aspetto non invitante e di difficile memorizzazione.
Ecco, in questo articolo cercherò di farti vedere come sia possibile memorizzarle nella maggior parte dei casi.
Questo perché, non tutte le formule presentano una forma che si presta ad essere memorizzata con facilità. Nei casi in cui la memorizzazione fallisce il ragionamento ci salva. Infatti, in queste situazioni la strada migliore da perseguire è quella della dimostrazione. Dimostrazioni che in questi casi richiedono solo la conoscenza di alcuni teoremi di geometria elementare (Pitagora, Euclide).
Sommario
Le identità fondamenti delle trigonometria da memorizzare sono le formule di:
- Addizione e sottrazione.
- Duplicazione.
- Bisezione.
- Prostaferesi.
- Werner.
La buone notizia è che le formule di bisezione, duplicazione ,Werner e di prostaferesi si ricavano facilmente e rapidamente se troviamo un modo di memorizzare le formule di addizione e sottrazione. Se non si volessero memorizzare queste formule, la soluzione migliore è utilizzare il ragionamento matematico, ossia, fare la dimostrazione. Naturalmente questo è vero per chi non vuole o non riesce a memorizzarle tutte.
Formule di addizione e sottrazione
Di seguito sono riportate le formule da memorizzare, ricordando che:
- Nel seno la struttura della formula è sempre sen cos cos sen, gli angoli sono sempre in ordine, ossia , il segno è rispettato.
- Invece nel coseno la struttura della formula è sempre cos cos sen sen, gli angoli sono sempre in ordine, ossia , il segno non è rispettato.
- Le formule della tangente e della cotangente, anche in questo caso, si ricavano con semplici passaggi matematici.
Se la memorizzazione delle formule di addizione e sottrazione dovesse portare problemi, naturalmente, la dimostrazione ci risolve tutti i problemi.
Dimostrazione della formula di sottrazione del coseno
Siano AP = AQ = con > i due archi in considerazione e quindi QP = – l’arco differenza.
Dette M,N le proiezioni dei punti P,Q sull’asse x, osserviamo che si ha:
- OM = cos
- MP = sen
- ON = cos
- NQ = sen
Si unisca Q con O e si prolunga detto segmento fino a incontrare in Q’ la circonferenza. Il triangolo Q’PQ, poiché è inserito in mezza circonferenza, è rettangolo: Q’Q è l’ipotenusa, QP e PQ’ ne sono i cateti.
Detta R la proiezione del punto P sull’ipotenusa, osserviamo che si ha:
-
-
- OR = cos (–)
- MP = sen (–)
-
Adesso si calcola la distanza fra i punti PQ, ossia:
PQ 2=(cos -cos )2+(sen – sen)2=
= cos2 + cos2 -2cos cos + sen2 + sen2 – 2sen sen =
Quindi = (cos2 +sen2 )+(cos2 +sen2 ) -2( cos cos +sen sen )=
= 1 +1 – 2( cos cos +sen sen )=
2 – 2( cos cos +sen sen ).
Ricordando che Q’Q=2 ,in quanto diametro della circonferenza trigonometrica di raggio unitario, e RQ = OQ–OR=1-cos (–).
Adesso, semplicemente, si calcola la lunghezza PQ 2 utilizzando il primo teorema di Euclide e si eseguono le relative sostituzioni, ossia:
PQ 2= QQ’RQ
2 – 2( cos cos +sen sen )=2(1-cos (–))
2 – 2( cos cos +sen sen )=2-2cos (–)
(cos cos +sen sen )=cos (-)
Formule di duplicazione
Come accennato nel primo paragrafo, le formule di duplicazione si ricavano semplicemente utilizzando le identità di addizione ponendo =. Vediamo adesso come si ricava la formula di duplicazione del seno e del coseno.
Seno
Ricordando che:
sen (+) =sen cos + cos sen
[ponendo = ]
sen (+) = sen cos + cos sen
Quindi: sen (2) =2 sen cos
Coseno
Ricordando che
cos (+) =cos cos – sen sen
[ponendo = ]
cos (+) =cos cos – sen sen
Quindi: cos (2) =cos2 – sen2
Seguendo questo procedimento si ricavano facilmente tutte le altre identità.
Formule di bisezione
Per ricavare in modo semplice queste identità, esprimiamo le formule di duplicazione del seno e del coseno nel solo coseno, ossia:
cos (2) =cos2 – sen2
Quindi: cos (2) =(1-sen2) – sen2
cos (2) =1-2sen2
ricordando che sen2 = 1 – cos2
si ha:
cos (2) =1-2(1 – cos2)
Quindi: cos (2) =1-2 +2 cos2
cos (2) =2 cos2 – 1
da questa si ottiene:
2 cos2 = 1 + cos 2
Con analogo ragionamento si ricava facilmente anche la seguente identità, la quale sarà utile per ricavare le formule di bisezione, ossia:
2 sen2 = 1 – cos 2
Adesso, ponendo semplicemente =/2, si ottiene:
2 sen2/2 = 1 – cos 2/2
2 sen2/2 = 1 – cos
sen2/2 =1/2 (1 – cos )
Quindi: sen /2 = (1 – cos )2
Con analogo procedimento si ottengono le altre identità.
Formule di prostaferesi
Di seguito si riportano le formule di prostaferesi, le quali si ricavano sommando e sottraendo membro a membro le formule di addizione e sottrazione.
sen(+) +sen(–) = 2sen cos (*)
sen(+) -sen(–) = 2sen cos (**)
cos(+) +cos(–) = 2cos cos (***)
E cos(+) -cos(–) = -2sen cos (****).
Ponendo poi + = p e – = q e facendo la semisomma e semidifferenza membro a membro, si ha:
= (p+q)/2 e = (p-q)/2.
Adesso sostituendo nelle formule precedenti si ottiene:
sen((p+q)/2+(p-q)/2) +sen((p+q)/2-(p-q)/2) = 2sen (p+q)/2cos (p-q)/2
sen p +sen q= 2sen (p+q)/2cos (p-q)/2.
Analogamente si ricavano tutte le altre. Ponendo adesso p= e q = si ottengono le formule di prostaferesi.
Formule di Werner
Vogliamo ancora dare un gruppo di formule, dette di Werner, le quali, come promesso, si ricavano dalle formule (*),(**),(***) e (****) dividendo ambo i membri per 2. Utilizzando la (***) ricaviamo la prima delle seguenti identità:
Ricordando la (***)
2cos cos = cos(+) +cos(–)
Dividendo per 2 ambo i membri, si ottiene la prima delle formule di Werner, ossia:
cos cos =1/2 [cos(+) +cos(–)]
Analogamente si procedere per ricavare le restanti identità.
Ing. Antonio Pugliese.
