Frazioni: impariamole insieme

di Redazione

Matematica 30 Ottobre 2018

Le frazioni in matematica sono da sempre uno degli argomenti più ostici. Nessuno tra gli studenti che le studia per la prima volta le ha mai capite davvero.

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Se affermano il contrario, stanno mentendo. Un buon modo per prendere dimestichezza con questo difficile argomento è quello di prendere delle ripetizioni di matematica, ma se avete solo bisogno di un chiarimento o di una semplificazione, ecco alcuni concetti base che è sempre bene tenere presenti.

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Sommario

Ma cosa sono esattamente le frazioni?

Una frazione, secondo la definizione classica dell’aritmetica, è un modo per esprimere una quantità basandosi sulla divisione di un oggetto in un certo numero di parti della stessa dimensione.

Ad esempio, se si taglia una torta in quattro fette uguali, ciascuna di esse è detta un quarto di torta (rappresentata con ¹⁄₄); due quarti è mezza torta, e otto quarti formano due torte.

Una frazione indica il rapporto di due numeri interi. I due numeri interi vengono separati da un trattino, detto linea di frazione, che può essere orizzontale, come in questi esempi: ${\textstyle \frac{1}{2},\ \frac {3}{4},\ \frac {5}{8} }$ oppure diagonale come ½, ¾, ⅝.

La frazione si compone di due elementi: denominatore e numeratore.

Il denominatore e il numeratore

Nell’esempio delle fette di torta di cui sopra, nella rappresentazione numerica come ¹⁄₄ il numero in basso, detto denominatore, indica il numero totale di parti uguali che compone la torta intera, e il numero in alto, il numeratore, è il numero di parti che è stato preso.

Il denominatore deve essere sempre diverso da zero: non è infatti possibile effettuare una divisione per zero.

Ma le frazioni sono composte solo dai numeri?

Ebbene, no, ne esistono anche di altri tipi.

Le frazioni miste

Il termine “frazione” è usato per descrivere anche altri oggetti matematici. Nelle scuole si può ad esempio sentire parlare di frazione mista o numero misto: si tratta di un numero composto da una parte intera più una frazione propria, rappresentato con la seguente notazione:

{\textstyle a+{b \over c}}

essendo a, b, c dei numeri interi con b < c come ad esempio in

{\textstyle 5+{3 \over 4}}

Stabiliti questi concetti base, scendiamo più nel merito dell’argomento. I numeri sono elementi comparabili, si può infatti stabilire un maggiore e un minore. Anche con le frazioni è possibile fare questo passaggio, ma diventa più complicato, noi ora cercheremo di spiegarlo in modo semplice e chiaro.

Il confronto tra frazioni

Si possono confrontare tra di loro numeri razionali sia nella loro forma di frazione sia nella forma di numero decimale.

Frazioni con lo stesso denominatore: essendo parti uguali della medesima suddivisione di un intero è maggiore la frazione che ha il numeratore maggiore (perché sono più parti uguali prese in considerazione).

Frazioni con lo stesso numeratore: essendo prese in considerazione, in questo caso, le medesime parti uguali della suddivisione di un intero, sarà maggiore la frazione che ha il denominatore minore (a parità di parti sicuramente risultano parti maggiori se la divisione è stata fatta in minor parti uguali).

Frazioni con numeratore e denominatore diversi: un confronto tra due frazioni potrà essere immediato se si confronta una frazione propria (minori di 1) e una impropria (maggiori di 1).

Negli altri casi dovendo confrontare più frazioni, conviene ridurle tutte al medesimo denominatore, facendo cioè riferimento alle medesime parti uguali: dovendo confrontare ${\textstyle \frac{a}{b}}$ e ${\textstyle \frac{c}{d}}$ , si convertono le frazioni in ${\textstyle \frac{a\,d}{b\,d}}$ e ${\textstyle \frac{b\,c}{b\,d}}$ , dove il comune denominatore bd è il prodotto dei denominatori da confrontare; si confrontano poi i numeratori tra loro: gli interi ad e bc.

Addizione e sottrazione

La regola per l’addizione e per la sottrazione di due frazioni è un po’ complicata; anche qua può essere utile tornare all’esempio della torta per ricavare la regola generale.

Se due torte uguali sono tagliate rispettivamente in quattro e cinque parti e io prendo una fetta di ciascuna, quanta parte di torta ho?

Immaginiamo di dividere ciascuna fetta della prima torta in altre cinque parti uguali, e ciascuna fetta della seconda torta in quattro parti uguali. A questo punto ho diviso entrambe le torte in 5 × 4 = 20 parti; di queste ne ho cinque dalla prima torta e quattro dalla seconda, per un totale di nove fettine.

Parlando numericamente, l’esempio sarebbe questo:

{1 \over 4}+{1 \over 5}={{5+4} \over {5\times 4}}={9 \over 20}

La formula generale per sommare due frazioni è data quindi da:

{a \over b}+{c \over d}={{ad+bc} \over {bd}}

Per le sottrazioni serve usare la stessa regola di base, infatti basterà semplicemente sottrarre invece di addizionare durante l’ultimo passaggio.

Moltiplicazione e divisione

Dopo aver visto le addizioni e quindi anche le sottrazioni con le frazioni, possiamo dire che le operazioni più semplici da compiere con le frazioni sono la moltiplicazione e la divisione. Ecco come vengono effettuate tali operazioni.

Tornando all’esempio della torta, se abbiamo tre persone che ottengono ciascuna un quarto della torta finiamo col distribuirne tre quarti. Numericamente, possiamo scrivere:

3\times {1 \over 4}={3 \over 4}

Riprendendo la nostra torta, se ne abbiamo preso un quarto e di questa vogliamo prenderne un terzo, ne otterremo un dodicesimo.

Infatti facciamo tre parti uguali della nostra fetta e ne prendiamo una: ma se avessimo diviso in tre parti tutte e quattro le fette iniziali saremmo arrivati a quattro volte tre fette; cioè 12 fette. In altre parole, un terzo di un quarto (o “un terzo di volte un quarto”) è un dodicesimo.

Numericamente quindi abbiamo:

{1 \over 3}\times {1 \over 4}={1 \over 12}

In pratica, si può notare come per moltiplicare due frazioni possiamo semplicemente moltiplicare i due numeratori tra loro, e i due denominatori tra loro, e usare i risultati come rispettivamente numeratore e denominatore del prodotto.

Ad esempio:

{5 \over 6}\times {7 \over 8}={5\times 7 \over 6\times 8}={35 \over 48}

o algebricamente:

{a \over b}\times {c \over d}={ac \over bd}

Invece per quanto riguarda la divisione, il sistema più semplice di dividere due frazioni tra di loro è moltiplicare la prima frazione per l’inverso della seconda.

Ecco un esempio:

{5 \over 6}:{20 \over 3}={5 \over 6}\times {3 \over 20}={1 \over 2}\times {1 \over 4}={1 \over 8}

Proprietà commutativa

Inoltre è importante ricordare che la moltiplicazione gode della proprietà commutativa, il che significa semplicemente che l’ordine dei fattori non conta, e tre volte un quarto è uguale a un quarto di tre.

In pratica, numericamente sarebbe:

3\times {1 \over 4}={1 \over 4}\times 3={3 \over 4}

Queste sono alcuni concetti base per iniziare a prendere confidenza con questo argomento, tanto odiato dagli studenti.