Gli insiemi nella matematica: come funzionano?
A chi non è venuto in mente durante il proprio percorso di studio di pensare: “Perché devo studiare la matematica? A cosa mi serve nella vita?”.
Generalmente la risposta che sorge spontanea, soprattutto a chi non ama particolarmente questa materia, è “a nulla”, ma ci renderemo presto conto che non è del tutto vero.
Un esempio di come la matematica influenza la nostra vita sono gli insiemi. Andiamo a scoprire cosa sono.
Sommario
Che cos’è un insieme?
Un insieme è una collezione di oggetti, persone, animali,.. che sono raggruppati in maniera determinata, cioè essi possono appartenervi o no e ogni elemento deve essere distinto.
Facciamo qualche esempio per fissare il concetto:
- Se prendessimo i gusti di gelato e li volessimo suddividere in gusti buoni e gusti meno buoni non potremmo creare un insieme in senso matematico, infatti questa suddivisione crea una classificazione oggettiva, di conseguenza gli insiemi variano da soggetto a soggetto.
- Esempi di insieme invece sono: le città italiane situate in Toscana, gli alunni di una classe, i numeri reali compresi tra 1 e 10, e così via. Tutti questi insiemi hanno la caratteristica di avere degli elementi che gli appartengono ed altri che non gli appartengono ma in maniera determinata indipendentemente dal realizzatore di suddetto insieme.
Notazioni:
Il concetto di insieme è nato da migliaia di anni e ha subito molteplici variazioni con il passare del tempo, delle usanze e dell’avanzamento delle conoscenze.
Le notazioni in uso al giorno d’oggi sono:
- Lettere dell’alfabeto maiuscole per determinare un insieme: A, B, C,.., Z.
- Lettere dell’alfabeto minuscole per determinare gli elementi di un insieme: a, b, c,…, z.
- Per indicare che un elemento appartiene ad un insieme si utilizza il simbolo “∈“. Contrariamente se un elemento non appartiene ad un insieme si sbarra il simbolo “∉ “.
Ad esempio:
1∈ ℕ (insieme dei numeri Naturali)
e ∉ ℕ (essendo “e” il numero di Nepero o numero di Eulero uguale a 2,71…)
Inclusione
Un altro simbolo molto importante quando si tratta di insiemi è il simbolo di inclusione che notiamo con “⊂ “. Questo simbolo sta ad indicare che alcuni elementi sono contenuti o inclusi in un insieme più grande. Esso può essere anche girato per invertire il senso di inclusione oppure sbarrato per indicare la non inclusione.
Ad esempio:
ℕ ⊂ ℝ (significa che i numeri Naturali sono inclusi nei numeri Reali)
A={-1, -2, -3} ⊄ ℕ (i numeri dell’insieme A non appartengono ai numeri Naturali)
∩ e ⋃
Gli ultimi simboli che andremo a trattare sono i simboli di Intersezione e di Unione rispettivamente notati con “∩” e “⋃ “.
L’intersezione di due insiemi A e B significa che creeremo un sottoinsieme contenente tutti gli elementi che appartengono sia ad A che a B.
L’unione di due insiemi C e D significa che creeremo un sottoinsieme contenente tutti gli elementi di C e di D presi solo una volta.
Ad esempio:
sia A={1, 2, 3} e B={1, 3, 4} avremo che:
A∩B= {1, 3} e A ⋃ B= {1, 2, 3, 4}
Caratterizzazioni degli insiemi
Come abbiamo visto nei numerosi esempi gli insiemi non sono tutti uguali. In effetti una delle loro più importanti caratteristiche è l’ampiezza di un insieme: essi possono essere Finiti, Infiniti, Unitari e Vuoti.
Un insieme si dice Finito se esso contiene un numero finito di elementi.
Esempio:
Il numero di vocali della parola Matematica.
Un insieme viene definito Infinito se ha infiniti elementi al suo interno.
Esempio:
L’insieme dei numeri Naturali.
Un insieme viene chiamato Unitario se ha un solo elemento al suo interno.
Esempio:
I numeri pari compresi tra 9 e 11.
Un insieme viene definito Vuoto quando non ha elementi al suo interno.
Esempio:
I numeri divisibili per 5 compresi tra 1 e 4.
Rappresentazione di un insieme
Fino ad ora abbiamo visto cosa sono e come vengono caratterizzati gli insiemi. Il discorso si espande quando entriamo a contatto con essi e vogliamo rappresentarli.
Ci sono varie tecniche di rappresentazione di un insieme o di gruppi di insiemi. Quella base che viene insegnata per prima è la rappresentazione grafica di Eulero-Venn che consiste nel disegnare dei cerchi ed inserendo tutti gli elementi a livello grafico.
Successivamente abbiamo invece delle rappresentazioni più sofisticate date dall’utilizzo del linguaggio matematico. Queste tecniche di rappresentazione si suddividono in Insiemi per Elencazione o Estensiva e Insiemi per Caratteristica o Intensiva.
Facciamo degli esempi:
Eulero-Venn
In questa immagine vediamo l’uso del diagramma di Eulero-Venn.
Per Elencazione o Estensiva
Sia A l’insieme delle lettere della parola Matematica. Allora avremo questo tipo di rappresentazione:
A={m, a, t, e, i, c,}
Da notare che le lettere che vengono ripetute sono prese una sola volta, questo perché ogni elemento dell’insieme deve essere distinto quindi non si ammettono elementi presi più volte.
Per Caratteristica o Intensiva
Sia B l’insieme delle x tale che x sia una montagna delle Alpi.
B={x | x è montagna delle Alpi}
Sia C l’insieme delle y tale che y sia un multiplo di 2
C={y | y è un multiplo di 7}
Conclusioni
Con questa scrittura è possibile rappresentare sia insiemi Finiti. Infiniti, Unitari o Vuoti, mentre invece per le altre 2 modalità è più complicato, se non impossibile, rappresentare insiemi Infiniti, poiché scrivere a mano tutti i multipli di 7 o tutti i numeri Naturali è impossibile.
Se dovessimo dare quindi un senso alla realizzazione degli insiemi e alla loro utilità nella vita quotidiana, diremmo che essi hanno un importanza rilevante per l’organizzazione di qualsiasi cosa.
A chi non è capitato di entrare in una biblioteca? Bene, al suo interno vengono contenuti centinaia e centinaia di libri di ogni genere, di scrittori diversi, che trattano argomenti diversi, e come potremmo dare un ordine a questo caos senza l’uso di tecniche di classificazione?
A questo problema può dare risposta l’insiemistica: in effetti potremmo vedere gli scaffali della biblioteca come tanti insiemi contenenti libri aventi caratteristiche simili.
Ad esempio potremmo suddividere i libri per autore, per argomento, data di scrittura, numero di pagine, numero di parole, e così via. Si potrebbero realizzare infinite classificazioni soltanto cambiando il parametro di suddivisione dei libri, ma tutto questo deriva da una sola cosa, gli insiemi, frutto di una conoscenza matematica millenaria atta proprio a soddisfare queste esigenze di classificazione.
Un’arma contro il caos che altrimenti governerebbe tutto ciò che conosciamo.
Francesco Calderazzo
