Imparare la semplificazione delle frazioni algebriche
Capire cosa sono le frazioni algebriche e come possono essere semplificate è fondamentale per poi saper risolvere esercizi sulle espressioni algebriche.
Ad un primo impatto questo argomento può sembrare abbastanza complesso e non tutti gli studenti sono in grado di capirlo fino in fondo, ma se seguirai ciò che è scritto in quest’articolo sarai avvantaggiato e scoprirai l’importanza della semplificazione.
Sommario
Cosa sono le frazioni algebriche
Una frazione algebrica non è altro che una semplicissima frazione solo che, al posto dei numeri, ha come numeratore e denominatore un polinomio. Naturalmente il polinomio al denominatore non deve essere nullo altrimenti avremo una forma indeterminata di questo tipo: a/0.
Ricordiamo che per polinomio si intende un’espressione letterale formata dalla somma di monomi, ovvero costanti e variabili moltiplicate tra di loro.
Le condizioni di esistenza delle frazioni algebriche
Una frazione algebrica dipende dai valori che assumono le lettere dalle quali è composta. Essa può perdere significato quando queste lettere assumono determinati valori.
ESEMPIO: se consideriamo la seguente frazione algebrica: (x+1)/(x-3), questa non ha significato quando assume come valore x=3 in quanto, sostituendo, avremmo (3+1)/(3-3)⇒4/0⇒forma indeterminata.)
In questo caso quindi, prima di procedere con la semplificazione, scriveremo C.E.: x≠3.
Il calcolo delle frazioni algebriche
Prima di parlare di semplificazione, è necessario andare a vedere quali operazioni sono possibili tra le frazioni algebriche.
L’addizione e la sottrazione
Come per le frazioni numeriche, anche per quelle algebriche è possibile effettuare la somma e la differenza:
- Se due o più frazioni algebriche hanno lo stesso denominatore, allora il denominatore della frazione risultante sarà lo stesso delle due frazioni che stiamo addizionando; mentre il numeratore sarà la somma algebrica dei numeratori.
ESEMPIO: 5a/(a-b) + 3a/(a-b) = (5a+3a)/(a-b)
- Se invece il denominatore delle frazioni è diverso allora avremo bisogno del m.c.m.( minimo comune multiplo) oppure in questo caso bisogna, se è possibile, prima ridurre le frazione allo stesso denominatore attraverso una semplificazione (come vedremo in seguito) e poi procedere nella somma dei numeratori come nel caso precedente.
ESEMPIO: 5a/(a-b) + 3a/(a+b) = 5a
La moltiplicazione
Per moltiplicare due o più frazioni algebriche basta fare il prodotto dei numeratori e il prodotto tra i denominatori.
ESEMPIO: 2a/3b · a/2b = 2a²/6b²
La divisione
Quando invece ci troviamo di fronte ad una divisione tra frazioni algebriche dobbiamo moltiplicare la prima per il reciproco della seconda frazione.
ESEMPIO: 4a/b : 2b/3a= 4a/b · 3a/2b = 12a/2b²
La semplificazione
Per semplificare la prima cosa da fare è vedere se sia il numeratore che il denominatore possono essere scritti o scomposti in maniera diversa dalla quale ci vengono presentati nella traccia.
Ciò può avvenire tramite raccoglimento totale o parziale oppure attraverso la scomposizione dei prodotti notevoli nel caso ce ne siano.
Dopo questo passaggio dobbiamo applicare la proprietà invariantiva. È infatti possibile moltiplicare o dividere sia il numeratore e sia il denominatore di una frazione algebrica per lo stesso polinomio. Facendo ciò otterremmo una frazione equivalente alla prima.
La semplificazione per proprietà invariantiva
Se abbiamo una frazione di questo tipo 15a³b/5ab² è possibile semplificarla in questo modo:
- semplifichiamo i coefficienti numerici (dividendo per 5):
15a³b/5ab² ⇒ 3a³b/ab² - dividiamo per a: 3
a³b/ab² ⇒ 3a²b/b² - dividiamo per b: 3a²
b/b²⇒ 3a²/b
La semplificazione per raccoglimento parziale o totale
A volte però, prima di dividere il numeratore e il denominatore di una frazione algebrica, è necessario scrivere i termini in una forma diversa. Ciò è possibile in alcuni casi raccogliendo un termine di un polinomio.
Se prendiamo in considerazione una frazione del tipo (x²-x)/3x è possibile semplificarla in questo modo:
- raccolgiamo al numeratore la x: [x(x-1)]/3x
- dividiamo tutto per x: [
x(x-1)]/3x⇒ (x-1)/3
Attenzione però! Come detto in precedenza quando abbiamo parlato del campo di esistenza, il secondo passaggio è possibile solo se x≠0 altrimenti questa semplificazione sarebbe “illegale”. Un trucco, che ti salverà la vita in situazioni come queste, è quindi di scrivere il C.E. all’inizio di ogni semplificazione.
La semplificazione per scomposizione
Esistono molti modi per poter scomporre un polinomio, i più usati sono la scomposizione mediante i prodotti notevoli e quella con il teorema di Ruffini.
Nel caso della frazione (x²-4x+4)/(3x-6), per esempio, abbiamo che il numeratore è un quadrato di binomio quindi siamo in grado di semplificarla così:
- riscriviamo il numeratore come quadrato di binomio: (x-2)²/(3x-6)
- raccogliamo il 3 al denominatore: (x-2)²/[3(x-2)]
- impostiamo C.E.: x-2≠0 quindi x≠2
- semplifichiamo dividendo per (x-2): (x-2)²/[3
(x-2)] ⇒ x-2/3
Semplificare le frazioni algebriche: esempi
Vediamo ora alcuni esercizi un po’ difficili che possono ingannare a prima vista, ma che poi in realtà si rivelano ancora più semplici di quelli svolti fin’ora.
Esercizio 1
Semplifichiamo la frazione algebrica: (27x³-1)/(3x-1). Questa può sembrare più complicata perché compare il termine della x al cubo. Come avrai già studiato però il numeratore ha proprio la forma di un cubo di binomio, pertanto:
- riscriviamo il numeratore: [(3x-1)(9x²+3x+1)]/(3x-1)
- dividiamo numeratore e denominatore per (3x-1) con C.E.: x≠1/3 : [
(3x-1)(9x²+3x+1)]/(3x-1)⇒ (9x²+3x+1).
Esercizio 2
La frazione algebrica (x²-5x-6)/(x+1) contiene al suo numeratore un trinomio del tipo x²+sx+p, dove s sta per somma e p per prodotto. In questo caso infatti per scomporre il numeratore dobbiamo trovare due numeri la cui somma sia -5 e il prodotto sia -6. Come avrai già intuito questi due numeri saranno +1 e -6, infatti (+1)+(-6)=-5 e (+1)×(-6)=-6.
Trovati questi numeri possiamo riscrivere il numeratore come (x+1)(x-6). se provi a moltiplicare questi due polinomi infatti ti uscirà x²-5x-6.
Ora riscriviamo la frazione (x+1)(x-6)/(x+1) , semplifichiamo (x+1) e otteniamo (x+1)(x-6)/ (x+1) ⇒ x-6.
Gli errori da non commettere quando si semplifica
Se al prossimo compito di matematica non vorrai prendere un brutto voto, ti consiglio di leggere attentamente questo paragrafo. Molto spesso infatti durante la semplificazione delle frazioni algebriche si commettono errori molti gravi sia per colpa della distrazione, ma a volte anche perché sono presenti degli esercizi a “trabocchetto” che ti possono portare fuori strada.
L’errore più diffuso tra gli studenti consiste nel semplificare una frazione anche quando al suo interno sono presenti termini legati tra di loro tramite un’addizione o una sottrazione.
ESEMPIO: nel caso di questa frazione (4x²-2)/4x² non siamo autorizzati a semplificare il 4x² perché al numeratore questo è legato con il segno “+” con il 2. Quindi questo è un errore: (4x²-2)/4x²
Un altro caso in cui possiamo cadere in inganno è quando c’è la presenza di falsi prodotti notevoli.
ESEMPIO: nella frazione (x²-4x-4)/(x-2) potresti facilmente confonderti scomporre il numeratore come un quadrato di binomio e trasformare la frione in questo modo: (x-2)²/(x-2), per poi semplificarla così: (x-2)²/(x-2) ⇒ x-2. Attenzione però perchè questa semplificazione è completamente sbagliata!
Il polinomio al numeratore NON è un quadrato di binomio perché in tal caso avrebbe dovuto avere come termine noto +4. Come vedi invece il termine noto lì è positivo pertanto non è nella forma a²+2ab+b², pertanto non può essere scomposto.
