Imparare l’algebra lineare: le basi da sapere
L’algebra lineare è una branca della matematica che riguarda le equazioni e i sistemi lineari e la loro rappresentazione, attraverso matrici e vettori nello spazio. L’algebra lineare ha un ruolo centrale in quasi tutte le aree della matematica.
Questa disciplina è fondamentale nelle moderne presentazioni della geometria, anche per la definizione di oggetti di base come linee, piani e rotazioni.
L’algebra lineare non è particolarmente difficile, tuttavia alcuni concetti di base possono rivelarsi un po’ complessi da comprendere per i principianti che li studiano per la prima volta. Non preoccuparti però, perché, grazie alle spiegazioni presenti in quest’articolo, sarai in grado di risolvere i problemi come un professionista della matematica.
Sommario
Cosa studia l’algebra lineare
Oggigiorno, l’algebra lineare viene anche utilizzata nella maggior parte delle aree scientifiche e ingegneristiche, poiché consente di modellare molti fenomeni naturali e di calcolarli attraverso tali modelli.
Essa ha le sue origini nello studio dei vettori negli spazi cartesiani a due e a tre dimensioni. Un vettore, in questo caso, è un segmento orientato, caratterizzato da lunghezza, direzione e verso.
I vettori possono essere usati per rappresentare determinate entità fisiche come le forze. Uno spazio vettoriale è definito sopra un campo, come il campo dei numeri reali. In uno spazio vettoriale è possibile effettuare delle trasformazioni lineari, che sono rappresentate attraverso delle matrici.
L’algebra lineare gioca anche un ruolo importante in analisi, specialmente nella descrizione delle derivate di ordine superiore nell’analisi vettoriale e nella risoluzione delle equazioni differenziali.
Conoscenze di base per studiare l’algebra lineare
Prima di tuffarci nel modo dell’algebra lineare, dobbiamo avere delle conoscenze abbastanza solide su alcuni argomenti essenziali, che rappresentano i pilasti portanti della matematica.
I MONOMI E I POLINOMI
Senza la conoscenza di questi due argomenti è impossibile saper risolvere esercizi di algebra lineare. Per questo motivo è meglio fare un veloce ripasso:
- Un monomio è un’espressione letterale in cui, fra le lettere, compaiono solo moltiplicazioni, divisioni e potenze.
- Un polinomio, invece, è una somma algebrica tra due o più monomi, quindi compaiono anche addizioni e sottrazioni.
Esempio: 3a²b³ è un monomio, mentre 3a²+b³ è un polinomio (somma tra due monomi: 3a² e b³).
Parlando di monomi e polinomi, non possiamo non citare i prodotti notevoli. Questi non sono altro che una moltiplicazione tra vari polinomi. Ecco di seguito i più importanti (le lettere in maiuscolo rappresentano dei monomi):
SOMMA PER DIFFERENZA⇒ (A+B)(A-B)=A²-B²
QUADRATO DI BINOMIO⇒ (A+B)²=A²+2AB+B²
QUADRATO DI TRINOMIO⇒ (A+B+C)²=A²+B²+C²+2AB+2AC+2BC
CUBO DI TRINOMIO⇒ (A+B)³=A³+3A²B+3AB²+B³
LE FRAZIONI ALGEBRICHE
Quando si fa il rapporto tra due polinomi, si ha una frazione algebrica. Essendo formata da polinomi, questa dipende dalle lettere di cui essi sono formati. Pertanto, una frazione algebrica perderà di significato per alcuni determinati valori delle lettere.
Facciamo un esempio: la frazione 
non ha significato quando la x vale 2, perché in tal caso il denominatore è nullo. Quando si ha a che fare con le frazioni algebriche, quindi, dobbiamo determinare le condizioni di esistenza di quest’ultima. Nel nostro esempio, scriveremo che C.E.: x≠2.
Se hai perplessità sulle frazioni algebriche, o per maggiori informazioni, leggi l’articolo del nostro blog sul seguente link.
LE EQUAZIONI LINEARI
La prima applicazione pratica dell’algebra lineare sono le equazioni di primo grado. Un’equazione è un’uguaglianza dove compaiono espressioni letterali per le quali dobbiamo cercare i valori delle incognite, di queste espressioni, che rendono vera l’uguaglianza.
Esistono vari tipi di equazioni:
- intera, se l’incognita è presente solo al numeratore;
- fratta, se l’incognita compare anche al denominatore;
- letterale, se oltre all’incognita x sono presenti anche altre lettere.
Per approfondire la spiegazione sulle equazioni lineari e per sapere come esse si risolvono, consulta la nostra guida al seguente link.
L’algebra lineare e i sistemi
I sistemi lineari possono essere definiti come degli insiemi di equazioni, o disequazioni, le quali devo essere verificate tutte contemporaneamente, quindi devono avere le stesse soluzioni.
Come saprai, un’equazione lineare sul piano cartesiano rappresenta una retta. Un sistema di più equazioni quindi rappresenterà il punto di intersezione tra le rette delle equazioni di cui è formato.
Nel grafico in figura, ad esempio, il sistema rappresenta due rette che si incontrano nel punto (2,3).
Per quanto riguarda la risoluzione di un sistema di primo grado esistono vari procedimenti. I più usati sono quattro: metodo di sostituzione, metodo del confronto, risoluzione per riduzione e metodo di Cramer.
Un sistema come questo può essere classificato in tre modi, in base alle sue soluzioni:
- DETERMINATO se , quindi rappresenta due rette incidenti.
- INDETERMINATO se , quindi rappresenta due rette coincidenti.
- IMPOSSIBILE se , quindi rappresenta due rette parallele.
Esercizi di algebra lineare
Per imparare l’algebra lineare non basta sapere la teoria, ma bisogna anche essere abili nello svolgere gli esercizi. Vediamo ora alcuni esercizi classici che potrebbero esserti d’aiuto per risolvere i problemi di algebra che il tuo professore ti assegna.
Esercizi sui vettori
Uno degli esercizi più diffusi, non solo in matematica, ma anche in fisica, è la somma tra due vettori. Questa può essere calcolata attraverso il metodo del parallelogramma.
È il caso dell’esercizio seguente, la cui traccia dice: “Calcola il modulo del vettore somma dei due vettori e di modulo a=12 e b=9, sapendo che l’angolo formato da i due vettori misura 90°.
Il vettore somma corrisponde alla diagonale del parallelogramma formato da e da come in figura. Per calcolare il modulo di dobbiamo applicare il teorema del coseno:
Sostituendo i valori di a e di b ci uscirà che .
Esercizi con i sistemi
Dopo averlo ridotto in forma normale applicando i princìpi di equivalenza delle equazioni, per risolvere un sistema si possono utilizzare diversi metodi.
L’esercizio che andremo a risolvere sarà con il metodo di sostituzione.
Il sistema è il seguente . Per risolvere questo sistema dobbiamo per prima ricavare la y dalla prima equazione, in questo modo :. Ora sostituiamo alla y nella seconda equazione l’espressione
trovata. ⇒ ⇒ .
Adesso ricaviamo la x dalla seconda equazione, sommando i termini simili e semplificando:
⇒ ⇒ .
Sostituiamo a x nella prima equazione il valore trovato e calcoliamo y: ⇒
La coppia ( 0; 1) è la soluzione del sistema.
