L’algebra lineare e la geometria: punti di connessione applicate alla realtà
A volte ci chiediamo a cosa serva la matematica. Spesso ciò che si studia a scuola viene appreso in modo mnemonico, senza stare a pensare come le formule, i teoremi che impariamo, oppure le equazioni e le disequazioni che svolgiamo , siano collegati alla realtà che viviamo quotidianamente.
L’algebra lineare e la geometria sono due delle branche più importanti della matematica. Esse si possono unire per formare la geometria analitica del piano, che studia le figure geometriche attraverso delle coordinate situate su un piano, detto cartesiano dal suo ideatore, che fu appunto Cartesio.
Sommario
L’algebra lineare e la geometria analitica
Questa parte della matematica si occupa dello studio dei vettori, delle trasformazioni lineari e dei sistemi di equazioni (o disequazioni) di primo grado.
L’algebra lineare è anche usata nella meccanica quantistica, per esempio fu usata da Paul Dirac , fisico inglese che, con le sue equazioni ha portato alla scoperta delle antiparticelle e la creazione di coppie di particelle virtuali nel vuoto.
L’applicazione più importante è però la geometria analitica. Sul piano cartesiano ,infatti, le rette sono rappresentate attraverso delle equazioni lineari. La geometria cartesiana è impiegata, per esempio, nella grafica vettoriale (traslazioni, rotazioni, ecc.), per creare animazioni, per le mappe e per l’astronomia e tanto altro ancora.
Inoltre, con particolare riferimento alla retta, la geometria analitica insegna a calcolarne la pendenza, informazione molto importante in numerosi ambiti, come:
- la fisica, che usa il piano cartesiano per rappresentare i moti e le traiettorie dei corpi;
- l’economia, la quale sfrutta la geometria analitica per la costruzione dei grafici relativi all’andamento di una variabile;
- l’elettrotecnica fa utilizzo del piano cartesiano per la rappresentazione grafica delle caratteristiche di uscita degli
elementi di un circuito elettrico
Moto rettilineo uniforme
La fisica è la prima applicazione della matematica. In particolare, il moto rettilineo uniforme rappresenta un connubio tra algebra, geometria e fisica.
Come saprai, questo tipo di moto riguarda un corpo che si muove a velocità costante con traiettoria rettilinea. Dal punto di vista geometrico quindi, se studiamo il moto sul piano cartesiano, impostando sull’asse delle ascisse il tempo, mente su quello delle ordinate lo spazio, avremo una retta.
Da un punto di vista algebrico, invece, la retta è rappresentata da un equazione lineare che in fisica prende il nome di legge oraria del moto rettilineo uniforme. Dalla formula della velocità di un corpo, possiamo ricavare l’equazione della legge oraria: Δs = v · Δt. Questa è meglio conosciuta con un’altra forma, più simile all’equazione generale della retta: s(t)=vt+s0.
Se la osservi, ti accorgerai sicuramente che assomiglia proprio all’equazione y=mx+q. La velocità v rappresenta, come m, il coefficiente angolare della retta; t è la variabile indipendente, mentre s(t) è la variabile dipendente; infine il termine noto s0 rappresenta la posizione del corpo in un preciso istante di tempo e coincide con il “punto di partenza” della retta.
La trigonometria
Molti teoremi della geometria piana mettono in relazione le lunghezze, gli angoli e le aree presenti in alcune figure geometriche. Ad esempio, la somma degli angoli interni di un triangolo risulta essere un angolo piatto.
La trigonometria è la parte della matematica, la quale cerca di calcolare le misure che caratterizzano gli elementi di un triangolo (lati, angoli, etc.) attraverso speciali funzioni. Queste non sono funzioni polinomiali (come l’equazione della retta), ma sono formate da particolari funzioni lineari trigonometriche: le più importanti sono il seno, il coseno e la tangente.
La trigonometria è una disciplina così antica, che la utilizzavano addirittura gli egizi per calcolare l’altezza delle piramidi e si è sviluppata nel corso del tempo grazie a cartografi, geografi ed astronomi. Oggi, invece, rappresenta una delle materie più importati per gli architetti o per gli ingegneri.
Ti è mai capitato di chiederti, ad esempio, come viene misurata l’altezza di un palazzo? La risposta sta nelle formule di trigonometria!
Se volessimo misurare l’altezza di un edificio come quello della figura a fianco, dobbiamo allontanaci ad una certa distanza (d in figura) dal palazzo, calcolare l’angolo φ formato dal terreno (OQ) e dalla retta che congiunge i nostri piedi con il tetto dell’edificio (OA).
Ora, sapendo che, in un triangolo rettangolo, la tangente di un angolo (nel nostro caso dell’angolo φ) corrisponde alla misura del lato opposto all’angolo (AQ) divisa per la misura del suo adiacente (OQ ovvero d), ricavando la formula inversa, possiamo calcolare l’altezza del palazzo.
tan(φ)=AQ/OQ ⇒ AQ=tan(φ)/OQ
Algebra lineare e geometria: problemi di realtà
L’algebra lineare e la geometria si possono definire, quindi, due facce della stessa medaglia. Vediamo ora alcuni problemi di geometria che vanno risolti attraverso equazioni o sistemi lineari.
ESERCIZIO 1: “Determina la misura di un lato di un quadrato, sapendo che, aumentando di 3 cm la lunghezza del lato, l’area aumenterà di 51 cm²”.
Per risolvere questo problema dobbiamo impostare un’equazione dove l’incognita è la misura del lato del quadrato. La traccia ci dice che se aumentiamo il lato di 3 cm, all’area dovremo aggiungere 51. Pertanto la nostra equazione sarà: (x+3)²=x²+51.
Risolvendo l’equazione avremo: x²+6x+9= x²+51 ⇒ x²+6x+9= x²+51 ⇒ 6x=42 ⇒ x=7
Quindi il lato del quadrato misurerà 7 cm.
ESERCIZIO 2: “In un trapezio isoscele la base minore è la metà di quella maggiore, i 6/5 del lato obliquo e i 3/2 dell’altezza. Sapendo che il perimetro misura 140 cm, determina l’area del trapezio”.
Innanzitutto dobbiamo ricordare la formula per calcolare l’area del trapezio che è: Α=(B+b)*h/2.
Sapendo che b=B/2 e b=(6/5)*l , possiamo trovarci b attraverso un’equazione lineare ricavandola dalla formula del perimetro. Quindi, siccome B+b+2l=140 (formula del primetro), sostituendo i dati avremo che 2b+b+2*(5/6)*b=140.
Non ci resta che svolgere l’equazione e trovare la base minore: 2b+b+2*(5/6)*b=140 ⇒ 3b+(5/3)*b=140 ⇒ (9b+5b)/3=140 ⇒ 14b/3=140 ⇒ b=30 cm.
Una volta fatto ciò possiamo ricavarci tutti gli altri elementi: B=2b=60 cm, l=(5/6)*b=25 cm e h=(2/3)*b=20.
Adesso possiamo trovare l’area del trapezio:
Α=(B+b)*h/2=(60+30)*20/2=900 cm².
