La legge dei gas perfetti
La legge di stato dei gas perfetti, anche nota come equazione di stato dei gas perfetti, è una relazione che comprende le due leggi di Gay – Lussac e la legge di Boyle e che lega le tre grandezze caratteristiche di un gas: pressione p, temperatura assoluta T e volume V.
Sommario
Che cos’è un gas perfetto?
Prima di fornire l’enunciato dell’equazione di stato dei gas perfetti e di andarne ad esaminare la sua applicazione nei diversi tipi di trasformazioni a cui un gas può essere sottoposto, è necessario dare una definizione di gas perfetto.
Un gas perfetto è un gas ideale che obbedisce alle due leggi di Gay – Lussac e alla legge di Boyle. È un gas molto rarefatto, quindi poco compresso, che si trova a una temperatura molto lontana da quella di liquefazione.
Quello del gas perfetto è un modello che ci permette di studiare il comportamento di gas reali. L’aria che respiriamo ad esempio, è un gas reale assimilabile a un gas perfetto, in quanto è molto rarefatta (ha una pressione pari a 1 atm) e si trova a una temperatura ambiente molto lontana da quella di liquefazione (-210°).
L’enunciato della legge dei gas perfetti
L’enunciato della legge dei gas perfetti dice che:
pV = (pₒVₒ)/(Tₒ) T
In cui si ricorda che con pₒ ci si riferisce alla pressione iniziale (espressa in Pascal), con Vₒ ci si riferisce al volume iniziale (espresso in metri cubi) e con Tₒ ci si riferisce alla temperatura iniziale (espressa in gradi Kelvin).
La legge di stato dei gas perfetti ci dice quindi che il prodotto della pressione di un gas perfetto per il suo volume è direttamente proporzionale alla sua temperatura assoluta.
La legge dei gas perfetti e i suoi casi particolari
Come si è già detto, l’equazione di stato dei gas perfetti comprende le due leggi di Gay – Lussac e la legge di Boyle. Eccone la dimostrazione:
La prima legge di Gay – Lussac afferma che in una trasformazione a pressione costante (trasformazione isobara), il volume di un gas perfetto varia in base a questa legge:
V = (Vₒ)/(Tₒ ) T
La condizione della prima legge di Gay – Lussac è quindi che p= pₒ. Sostituendo questa condizione nell’equazione di stato dei gas perfetti otteniamo che:
pₒV = (pₒVₒ)/(Tₒ)T da cui
V = (Vₒ)/(Tₒ ) T
È stato quindi dimostrato come partendo dall’equazione di stato si possa arrivare, imponendo le dovute condizioni, al caso particolare della prima legge di Gay – Lussac.
Lo stesso procedimento sarà messo in atto per dimostrare come dalla legge dei gas perfetti si possa ricavare anche la seconda legge di Gay – Lussac e la legge di Boyle. L’unica differenza consisterà nelle condizioni che andranno imposte.
La seconda legge di Gay – Lussac afferma che in una trasformazione a volume costante (trasformazione isocora) la pressione del gas perfetto varia in base a questa legge:
p = (pₒ)/(Tₒ) T
La condizione della seconda legge di Gay – Lussac è quindi V= Vₒ. Applicandola alla formula della legge dei gas perfetti avremo che:
p Vₒ = = (pₒVₒ)/(Tₒ) T da cui
p = (pₒ)/(Tₒ) T
La legge di Boyle invece afferma che in una trasformazione a temperatura costante (trasformazione isoterma) il prodotto fra pressione e volume finale sarà uguale al prodotto fra pressione e volume iniziale, cioè
pV = pₒV ₒ
La condizione imposta dalla legge di Boyle è quindi T = Tₒ. La legge dei gas perfetti si presenterà in questo caso sotto questa forma:
pV = (pₒVₒ)/(Tₒ) Tₒ da cui
pV = pₒV ₒ
Dimostrazione della legge dei gas perfetti
Supponiamo di sottoporre un gas perfetto, che si trova a una pressione iniziale pₒ , una temperatura Tₒ , e un volume Vₒ prima a una trasformazione isoterma, poi a una trasformazione isobara (lo stato del gas infatti dipende da pressione, volume e temperatura, non dalle trasformazioni subite).
Nel corso della trasformazione isoterma il comportamento del gas è descritto dalla legge di Boyle, per cui avremo che pVₒ’ = pₒVₒ , dove con Vₒ intendiamo il volume raggiunto dal gas dopo la trasformazione. Isolando Vₒ’ otterremo che Vₒ’ = (pₒVₒ)/p.
Sottoponendo poi il gas a una trasformazione isobara, otterremo, in base alla prima legge di Gay – Lussac, che V = (Vₒ’)/(Tₒ) T .
Sostituendo in quest’ultima formula quella che abbiamo ottenuto precedentemente isolando Vₒ’ avremo che V = (pₒVₒ)/p 1/(Tₒ) T , da cui moltiplicando entrambi i membri per p ricaveremo l’equazione di stato dei gas perfetti.
Un’altra forma per l’equazione di stato dei gas perfetti
Grazie agli esperimenti del fisico Amedeo Avogadro relativi al numero di mole si è arrivati a un’ulteriore forma per l’equazione di stato dei gas perfetti, ossia:
pV = nRT
in cui n è il numero di mole, R è la costante universale dei gas (R = 8,3145 J/(mol •K) ) e T è la temperatura assoluta espressa in gradi Kelvin.
Essa afferma quindi che il prodotto fra la pressione e il volume finale è direttamente proporzionale alla temperatura assoluta del gas.
Da questa formula si ricava quindi la legge di Avogadro, ossia:
n = pV/RT
la quale stabilisce che gas diversi a stessa pressione, volume e temperatura hanno stessa mole.