Studio di funzione? Il metodo che “funziona”!

Parliamo un po’ dello studio di funzione. Lo studio della matematica, sì sa, non è semplice, ed è spesso seminato di insidie. Data la sua innegabile complessità, esso richiede impegno e concentrazione…nonché –ahimè- tanto tempo sui libri!

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Uno degli argomenti più complessi mai affrontati dalla matematica è sicuramente lo “studio di funzione”. Questo argomento è trattato nei licei scientifici o negli istituti tecnici, e naturalmente da tutti i corsi di laurea di indirizzo scientifico-tecnologico.

Ma che cos’è una funzione?

Una funzione è una legge matematica che associa ad ogni valore della variabile x un unico valore della variabile y.

Esempi di funzioni sono le equazioni: y= ax² + bx + c, y= x⁸-x⁴, y= 4/(3-x)…e moltissime altre ancora.

Come si rappresenta una funzione?

L’andamento di qualsiasi funzione può essere rappresentato attraverso un grafico nel piano cartesiano (x,y), formato da tutti i punti le cui coordinate (x,y) sono in grado di soddisfare l’uguaglianza espressa dalla equazione/funzione.

Il suo tracciamento è dunque relativamente semplice nelle funzioni meno complesse, come ad esempio y=x oppure y=x². Sarà infatti sufficiente attribuire un qualsiasi valore alla variabile x e calcolare poi il corrispettivo valore della variabile y.

Ma questo tracciamento diventa invece alquanto difficile nelle funzioni più complesse. Per esse attribuire un qualsiasi valore alla variabile x e calcolare il corrispettivo valore della variabile y può rivelarsi non sufficiente a tracciare il grafico.

In questi casi risulta dunque necessario effettuare un vero e proprio studio della funzione, al fine di determinarne le caratteristiche e quindi poter tracciare il suo grafico.

Come si studia una funzione?

Inutile dire che questo “studio di funzione” risulta essere spesso lungo ed impegnativo. Per poterlo intraprendere correttamente è necessario approcciarsi ad esso con serietà, costanza, volontà e desiderio di imparare.

Poiché lo studio di funzione è un procedimento suddivisibile in più fasi, prima dell’analisi di un caso pratico, può rivelarsi molto utile realizzare uno schemetto delle fasi da intraprendere. Elencare le fasi da seguire ha infatti una grande importanza dal punto di vista psicologico: permetterà di non saltare passaggi o considerazioni.

Avere inoltre una visione di insieme di tutte le operazioni da eseguire permetterà di iniziare a lavorare con maggior rilassatezza. Non solo: come diceva Henry Ford, celeberrimo imprenditore americano, “non ci sono grandi problemi, ci sono solamente tanti piccoli problemi”.

Di conseguenza, elencare le tante fasi dello studio di funzione consentirà  di focalizzare l’attenzione su ognuna di esse per volta. Si avrà così la sensazione di aver spezzettato un complesso procedimento in tanti piccoli (e quindi più facilmente superabili) procedimenti.

Le fasi dello studio di una funzione

Vediamo, brevemente, quali sono queste fasi:

1. Studio del dominio e del codominio della funzione.

L’insieme di tutti i valori che la x può assumere nell’insieme R dei numeri reali si chiama “dominio” della funzione. L’insieme di tutti i corrispondenti valori dell y è invece il “codominio” o “immagine” della funzione. Assegnata una funzione, ci occuperemo dunque prima di tutto di stabilire quali siano il suo dominio e il suo codominio.

2. Individuazione di eventuali parità o disparità della funzione.

Rilevare eventuali parità o disparità nella funzione è molto utile perché funzioni pari e funzioni dispari sono dotate di particolari simmetrie. Note queste simmetrie, diventa più semplice tracciare il loro grafico.

3. Determinazione dei punti di intersezioni con gli assi X e Y.

4. Valutazione di una funzione alle estremità del suo dominio.

In questa operazione entrano in gioco i cosiddetti “limiti di funzione”. Essi permettono di capire se essa presenta delle discontinuità, cosa accade in corrispondenza dei punti in cui essa non è definita o nei punti agli estremi del campo reale, e se essa presenta degli asintoti orizzontali o verticali.

5. Valutazione dei massimi e dei minimi (assoluti o relativi) o dei punti di flesso di una funzione.

Ovvero la valutazione dei punti dove si annulla la derivata prima della funzione. La valutazione di massimi, minimi e flessi permette di capire anche dove la funzione risulta crescente o crescente (e quindi concavità verso l’alto o verso il basso), oppure dove la concavità si inverte.

6. Studio dei punti singolari. 

(Come cuspidi, angolosità, flessi verticali ecc.)

7.Tracciamento del grafico della funzione.

Questo tracciamento è necessario compierlo sulla base dei risultati emersi dall’analisi appena compiuta. Per avere una riprova della correttezza dei calcoli eseguiti e quindi del grafico che è stato tracciato, può essere utile affidarsi a software grafici. Tali software sono in grado di tracciare il grafico di una funzione conoscendone l’equazione. Alcuni di essi non richiedono scaricamenti e possono essere utilizzati direttamente dal web. Altri ancora sono scaricabili gratuitamente come applicazioni per tablet e smartphone.

Poi come si procede?

Lo schemetto così realizzato non dovrà però solo elencare le varie fasi dello studio di funzione. In esso dovranno essere elencate anche le operazioni che ognuna di esse prevede. Se è il caso è possibile anche corredare ogni fase con un paio di esempi: quelli che si ritiene aiuteranno meglio a ricordare come si procede, oppure alcuni dei casi particolari/eccezioni ritrovati fra gli esempi del libro o negli esercizi.

Se necessario, è possibile arricchire gli esempi di piccoli grafici, dall’impatto visivo immediato. Non raramente può rivelarsi utile anche trascrivere importanti consigli o avvertimenti forniti dal professore in merito ad una certa particolare fase.

Tale schemetto sarà per lo studente una sorta di “tabella di marcia” da seguire per intraprendere lo studio di funzione e fornirà un brevissimo riassunto di tutti i passaggi principali per poterlo portare a termine.

Inizialmente si avrà bisogno di consultare lo schema molte volte, così come molti saranno i dubbi e la paura di sbagliare. Man mano che si procederà nel fare esercizi, ci si accorgerà di non avere più bisogno dello schemetto, in quanto si avrà completamente memorizzato il suo contenuto ed assorbito la sua struttura logica.

Hai ancora dubbi?

Per qualsiasi ulteriore aiuto nello studio della matematica è sempre possibile rivolgersi al servizio di ripetizioni di skuola.net. Attraverso il quale sarà possibile reperire un tutor esperto che possa seguire lo studente nello studio.Tanto materiale sull’argomento è inoltre disponile nella sezione appunti per le scuole superiori e appunti universitari, che aiuterà nella comprensione degli argomenti.

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