Numeri Complessi: qualche nozione per capirli meglio

Studiare matematica è il cruccio di ogni studente; i numeri complessi, poi, sono davvero molto complicati e poco trattati a scuola. Non è una materia semplice e in pochi riescono a svolgerla senza avere dei problemi. Non si tratta di essere intelligenti o meno: matematica deve innanzitutto piacere! I numeri sono la croce e la delizia per alcuni, mentre altri la reputano semplicemente una perdita di tempo, ma non è così. La matematica serve e un giorno ve ne renderete conto.

Per studiare matematica, anzitutto vi consigliamo di non cominciare ad agitarvi, o peggio, annoiarvi. Molti argomenti sono ostici per alcuni ragazzi e aprire il libro di matematica diventa un vero inferno. Non dovete farvi prendere dal panico, ma bevete un bicchiere d’acqua, mangiate qualcosa, aprite il libro e leggete con calma, cercando di memorizzare ogni passo. Non scoraggiatevi! Nessuno nasce con le nozioni di matematica in tasca. Si imparano nel corso della vita, con calma.

In questo articolo tratteremo nello specifico dei numeri complessi, che già dal nome potrebbero terrorizzare alcuni di voi! Rilassatevi e vediamo insieme di capirci meglio qualcosa. Li tratteremo molto brevemente, ma fateci sapere se volete degli approfondimenti a riguardo: ce ne occuperemo in modo più chiaro.

Numeri complessi: nozioni veloci per comprenderli al meglio

Cos’è un numero complesso?

Anzitutto, un numero complesso è formato da una parte reale e da una parte immaginaria. Cosa significa? Che viene rappresentato da un numero reale e da un numero immaginario, ovvero un multiplo dell’unità immaginaria, indicata con la lettera i.

Grazie ai numeri complessi, possiamo estrarre le radici ad indice pari di numeri negativi e di conseguenza ci aiutano a risolvere le equazioni di secondo grado con discriminante negativo.

Quindi un numero complesso è il seguente: 2 + 5i.

Un numero complesso è il risultato di una soluzione di un’equazione di secondo grado.

I numeri complessi non si usano soltanto in matematica, ma anche in fisica; questi numeri sono la conseguenza del problema di dover risolvere determinati problemi in uno specifico insieme. Tutti gli insiemi dei numeri, dai naturali ai complessi, sono nati perciò per risolvere specifici problemi. I numeri complessi, in questo caso, sono veramente importanti per tantissimi quesiti; in fondo, vedremo in quali materie vengono più usati e in quali specifici argomenti.

Numeri complessi: significato, insieme, rappresentazione

L’insieme dei numeri complessi si indica con il simbolo C. Serve a risolvere tutte le equazioni di secondo grado con discriminante negativo; senza la loro esistenza, non potremmo infatti farlo.

Insomma, la matematica è sostanzialmente infinita; assistiamo a una vera e propria estensione del concetto di numero.

Come si rappresenta un numero complesso?

Un numero complesso z è comunemente un punto nel piano e ha due modi di essere rappresentato: forma cartesiana e forma esponenziale.

• Forma cartesiana: il numero complesso z ha delle coordinate reali x e y, dove un numero è l’unità reale e l’altro numero è l’unità immaginaria i.
• Nella forma esponenziale: il numero complesso z è indicato dal modulo |z|. Cosa significa? Che è la distanza del punto z dall’origine e dall’argomento, che è l’angolo θ. Questo angolo viene espresso in radianti.

Le operazioni tra numeri complessi sono abbastanza complicate; qui le riporteremo sommariamente, cercando di darvi la rappresentazione di ognuno.

• La somma: scrivete gli addendi in forma cartesiana e sommate separatamente le parti reali e le parti immaginarie.
• Il prodotto: per moltiplicare due numeri complessi ci affidiamo al prodotto di due binomi.
• Il coniugato e il quoziente: per un numero complesso, si definisce con z = x –
• Il reciproco: se conosciamo il valore assoluto e il coniugato di un numero complesso è possibile calcolare il suo reciproco.

Alcune proprietà

• Perdita dell’ordinamento: i numeri complessi non sono stati pensati per essere combatibili con le operazioni aritmetiche. Non possiamo definire un ordine usandoli. Tuttavia, l’insieme dei numeri complesso può essere ben ordinato, attraverso l’ordine lessicografico.
• Spazio dei vettori reali: l’insieme C dei numeri complessi è uno spazio vettoriale complesso e al contempo uno spazio vettoriale reale a due dimensioni. Inoltre, è anche uno spazio normato completo, ovvero uno spazio di Banach e uno spazio di Hilbert.

Dove troviamo più comunemente i numeri complessi e come li applichiamo? Qui vedremo soltanto nelle materie di matematica e fisica, ma i numeri complessi trovano posto anche in ingegneria e in elettrotecnica ed elettronica. Abbiamo visto che i numeri complessi sono la risposta alla ricerca di determinati problemi. La loro nascita ha permesso di ampliare il concetto di matematica in modo esponenziale. Non vengono utilizzati solo per le equazioni di secondo grado. Se qualcuno tra di voi ha intenzione di studiare matematica all’università, in Analisi Matematica troverete proprio loro: i numeri complessi!

In Matematica

• Equazioni differenziali: basta trovare le radici complesse per risolverle. Devono essere a coefficienti costanti.
• Integrali impropri: potete risolverne alcune servendovi del teorema dei residui dell’analisi complessa.
• Frattali: alcuni sono rappresentati dai numeri complessi, come l’insieme di Julia o di Mandelbrot.
• Teoria dei numeri: la troviamo nel teorema dei numeri primi e l’ipotesi di Riemann. I problemi sui numeri interi vengono trattati con l’analisi complessa.

In Fisica

• Meccanica quantistica: i numeri complessi sono fondamentali per questa materia. La teoria, dopotutto, è sviluppata in uno spazio di Hilbert. Comprende l’equazione di Schrodinger.
• Relatività: se prendiamo a esempio delle formule dello spazio metrico e implementiamo una variabile temporale come una variabile immaginaria risolvere determinati problemi è più semplice.
• Dinamica dei fluidi: servono per descrivere il flusso potenziale in due dimensioni.

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