Paradossi matematici: i più interessanti
Un paradosso è, genericamente, la descrizione di un fatto che contraddice l’opinione comune o l’esperienza quotidiana, riuscendo perciò sorprendente, straordinaria o bizzarra.
Più precisamente, in senso logico-linguistico, indica sia un ragionamento che appare invalido, ma che deve essere accettato, sia un ragionamento che appare corretto, ma che porta a una contraddizione.
Potreste rimanere stupiti da quanto siano in realtà interessanti i paradossi matematici. Il paradosso infatti è un potente stimolo per la riflessione.
Rivela sia la debolezza della nostra capacità di discernimento sia i limiti di alcuni strumenti intellettuali per il ragionamento.
Andiamo insieme alla scoperta di quei paradossi matematici insospettabilmente divertenti e affascinanti.
Sommario
Paradosso del Grand Hotel di Hilbert
Il paradosso del Grand Hotel è un celebre paradosso inventato dal matematico David Hilbert per mostrare alcune caratteristiche del concetto di infinito. Ecco cosa dice.
Hilbert immagina un hotel con infinite stanze, tutte occupate. Ed afferma che qualsiasi sia il numero di altri ospiti che sopraggiungano, sarà sempre possibile ospitarli tutti. Anche se il loro numero è infinito.
Nel caso semplice, arriva un singolo nuovo ospite. Il furbo albergatore sposterà tutti i clienti nella camera successiva (l’ospite della 1 alla 2, quello della 2 alla 3, etc.).
In questo modo, benché l’albergo fosse pieno è comunque, essendo infinito, possibile sistemare il nuovo ospite.
Paradosso del compleanno
Il paradosso del compleanno (o problema del compleanno) è un paradosso di teoria della probabilità definito nel 1939 da Richard von Mises.
Il paradosso afferma che la probabilità che almeno due persone in un gruppo compiano gli anni lo stesso giorno è largamente superiore a quanto potrebbe dire l’intuito.
Infatti già in un gruppo di 23 persone la probabilità è circa 0,51. Mentre con 30 persone essa supera 0,70, con 50 persone tocca addirittura 0,97.
Anche se per arrivare all’evento certo occorre considerare un gruppo di almeno 366 persone (367 se si considera l’anno bisestile).
Paradosso dei due bambini
Viene detto paradosso dei due bambini un celebre quesito della teoria della probabilità, apparentemente semplice ma in realtà ambiguo e il cui studio porta a una risposta controintuitiva.
Esso è spesso citato per mettere in evidenza la facilità con la quale nell’ambito della probabilità può nascere confusione anche in contesti che a prima vista sembrano nient’affatto complicati da analizzare.
Il quesito in questione è, in una delle prime formulazioni:
Il signor Smith ha due bambini. Almeno uno dei due è un maschio. Qual è la probabilità che entrambi i bambini siano maschi?
La risposta intuitiva è che se, poniamo, è maschio il primo bambino, la probabilità che anche l’altro lo sia è 1/2=50%.
In realtà la domanda è posta in modo ambiguo (è facile pensare che con “almeno uno” si intenda “sicuramente uno che ho chiaramente individuato – ed eventualmente anche l’altro”).
Una possibile riformulazione – intuitivamente equivalente – che non dia adito ad ambiguità è la seguente:
Il signor Smith ha due bambini. Non sono due femmine. Qual è la probabilità che entrambi i bambini siano maschi?
Non è difficile, utilizzando semplici strumenti di probabilità classica, scoprire che la risposta è allora 1/3=33,3%.
Nota bene: questo cosiddetto paradosso non ha nulla a che vedere con il fatto che in natura il numero di figli maschi sia diverso dal numero di figlie femmine. Infatti si assume invece che la probabilità di un figlio maschio sia a priori uguale a quella di una figlia femmina: 1/2.
Paradosso di Russell
Il paradosso di Russell è stato formulato proprio dal filosofo e logico britannico Bertrand Russell tra il 1901 e il 1902. Questo paradosso è una delle antinomie più importanti della storia della filosofia e della logica.
Può essere enunciato così:
L’insieme di tutti gli insiemi che non appartengono a se stessi appartiene a se stesso se e solo se non appartiene a se stesso.
Si tratta più propriamente di un’antinomia che di un paradosso. Un paradosso è una conclusione logica e non contraddittoria che si scontra con il nostro modo abituale di vedere le cose.
Mentre un’antinomia è una proposizione che risulta autocontraddittoria sia nel caso che sia vera, sia nel caso che sia falsa.
L’antinomia di Russell può essere espressa in modo “intuitivo” per mezzo di altre formulazioni, come il paradosso del barbiere o quello del bibliotecario.
Inoltre, essa è basata su un ragionamento analogo a quello che porta sia al paradosso dell’eterologicità di Grelling-Nelson, che, in ultima analisi, anche al paradosso del mentitore.
Paradosso del barbiere
Il paradosso del barbiere è un’antinomia formulata dal filosofo e logico britannico Bertrand Russell nel 1918. L’antinomia può essere enunciata così:
In un villaggio vi è un solo barbiere, un uomo ben sbarbato, che rade tutti e solo gli uomini del villaggio che non si radono da soli. Chi rade il barbiere?
Se, come apparirebbe plausibile, il barbiere si radesse da solo, verrebbe contraddetta la premessa secondo cui il barbiere rade solo gli uomini che non si radono da soli.
Se invece il barbiere non si radesse autonomamente, allora dovrebbe essere rasato dal barbiere, che però è lui stesso: in entrambi i casi si cade in una contraddizione.
La somiglianza con il paradosso di Russell sta nel fatto che il villaggio del barbiere si potrebbe considerare diviso in due parti:
- Quella degli uomini che si radono da soli (che è assimilabile alla categoria degli insiemi che appartengono a se stessi nella versione originale dell’antinomia).
- Quella degli uomini che, non radendosi da soli, vengono rasati dal barbiere (nella versione originale, gli insiemi che non appartengono a se stessi).
Il problema è in quale categoria vada incluso il barbiere. Infatti, sia che venisse incluso nella prima, sia che venisse incluso nella seconda, la situazione sarebbe contraddittoria.
Il barbiere è un insieme che appartiene a se stesso se e solo se non appartiene a se stesso.
