Perché è utile e a cosa serve studiare l’algebra lineare
L’algebra lineare è uno strumento centrale in molte aree della matematica e ha molte applicazioni pratiche. A volte si usa per approssimare i modelli non lineari, ad esempio nelle regressioni lineari, o nell’analisi dei piccoli segnali per i transistori. Oggigiorno, questa disciplina è imprescindibile per molte carriere professionali, quale ad esempio quella degli ingegneri.
Autovalori, autovettori, operazioni su spazi vettoriali, trasformazioni lineari, algebra delle matrici, determinanti, matrici inverse, pseudo-inverse e molto altro ancora. Come vedi l’algebra lineare riguarda molti campi della matematica e non solo, ecco perché è così importante da studiare.
Sommario
Cosa studia l’algebra lineare
L’algebra lineare è la branca della matematica che si occupa dello studio dei vettori, spazi vettoriali, trasformazioni lineari e sistemi di equazioni lineari.
I vettori sono segmenti orientati aventi lunghezza, direzione e verso. Essi possono essere usati per rappresentare determinate entità fisiche come le forze.
In questa branca della matematica, si studiano quindi le proprietà delle matrici, e gli algoritmi per calcolare delle quantità importanti che le caratterizzano, quali il rango, il determinante e l’insieme dei suoi autovalori.
In analisi matematica, è di importanza fondamentale per la descrizione delle derivate di ordine superiore, per l’analisi vettoriale e per la risoluzione delle equazioni differenziali.
L’algebra lineare ha anche un applicazione concreta nella geometria analitica. Con essa inoltre, si studiano tutti i fenomeni lineari, non solo nel campo della fisica, ma anche in quello delle scienze naturali e sociali.
L’algebra lineare come strumento di pensiero
Questa disciplina, come, del resto, tutta la matematica, può sembrare a prima vista solamente un insieme di formule, basti pensare al calcolo letterale. L’algebra lineare è però un formidabile strumento di pensiero che consente di modellizzare i problemi e le situazioni che ci troviamo di fronte.
È necessario avere buone conoscenze di algebra anche perché questa ci permette di esprimere e dimostrare proprietà. Ad esempio, secondo te, è vero che se un numero è divisibile per 6 allora è divisibile anche per 2?
Beh, se provassimo a fare una tabella, ci renderemmo conto che l’affermazione è vera. Ma questo non basta, però, perché i numeri naturali divisibili per 6 sono infiniti. Come facciamo, quindi, a dimostrarla attraverso una ragionamento matematico?
Se un numero è divisibile per 6, allora nella sua scomposizione in fattori primi dovranno comparire almeno un 3 e un 2. Come vedi quindi, se nella scomposizione compare il 2, allora il numero oltre ad essere divisibile per 6, lo sarà anche per 2.
L’algebra lineare ci consente di formalizzare questo ragionamento attraverso un linguaggio matematico:
Chiamiamo il nostro numero n. Essendo divisibile per 6, allora possiamo scrivere che 
,dove t è un altro numero naturale. Scomponiamo 6 come 2*3, quindi . Possiamo, infine, scrivere n come il prodotto di 2 per un altro numero che è 3t ⇒ .
Attraverso l’algebra lineare, pertanto, siamo riusciti a dire che n è un multiplo di 2: , (dove k=3t)
I sistemi lineari
Tra i vari motivi per studiare l’algebra lineare c’è la risoluzione dei sistemi lineari. Attraverso l’utilizzo di questa parte della matematica siamo in grado di risolvere sistemi di equazioni di primo grado.
Questi tipi di esercizi sono molto importanti perché sono collegati con la geometria analitica, la quale è impiegata, per esempio, nella grafica vettoriale (traslazioni, rotazioni, ecc.), per creare animazioni, per le mappe, per l’astronomia e tanto altro ancora.
Per risolvere un sistema esistono vari modi. Ora proviamo a risolverne uno con il metodo del confronto :
Abbiamo il seguente sistema , per risolverlo possiamo ricavare la stessa incognita, in questo caso la x, da
entrambe le equazioni: . Ora possiamo uguagliare i due termini in nero, essendo entrambi uguali ad x.
, in questo modo abbiamo ottenuto un’equazione solamente in un incognita, ovvero la y. Questa si
può risolvere così: ⇒ . Adesso ci rimane solamente da risolvere l’altra equazione
sostituendo la y che, come abbiamo scoperto, vale –2 . ⇒
Perché dobbiamo studiare l’algebra lineare?
Come già detto prima, l’algebra lineare, ed in particolare il calcolo letterale, è fondamentale per schematizzare, generalizzare e fare di un caso osservato una legge, che vale a prescindere dai valori che si assegnano alle lettere di un formula.
Basti pensare ai software, ai giochi elettronici, si basano tutti su questo concetto. Qualcuno però potrebbe pensare: a cosa serve il calcolo letterale, se esiste già il calcolo con i numeri?
Per rispondere a questa domanda ti faccio un indovinello: prova a pensare un numero tra 1 e 10, moltiplicalo per 3. Ora aggiungi 4 al risultato; aggiungi adesso nuovamente il numero di partenza. Dividi tutto quello che ti esce per 4 e sottrai il numero che avevi pensato all’inizio. Scommetto che il risultato finale sarà 1.
Non c’è nessun trucco di magia! Basta applicare il calcolo letterale: indichiamo con la lettera a il numero tra 1 e 10 che ti ho chiesto di pensare. Poi ti ho chiesto di moltiplicarlo per 3 e di sommare al prodotto 4. Pertanto avremo 3a+4. Aggiungiamo di nuovo il numero di partenza, quindi a : 3a+4+a ⇒ 4a+4 ⇒ 4(a+1)
Ti ho chiesto di dividere tutto per 4, e in seguito di sottrarre a: [4(a+1)]/4 ⇒ a+1 ; a+1-a ⇒ 1 . Come vedi quindi qualunque numero che sostituisci ad a, il risultato sarà sempre 1.
Devi, quindi, fartene una ragione: il mondo della matematica, e non solo, è fatto di formule; questo è il motivo per cui è necessario lavorare sia con i numeri e sia con le lettere.
L’algebra lineare e le matrici
Uno degli argomenti principali dell’algebra lineare sono le matrici. Queste vengono sia affrontate durante il biennio delle superiori, per via del metodo di Cramer per la risoluzione dei sistemi, e sia durante il primo anno di università.
L’utilizzo delle matrici risale fino al primo secolo a.C. Oggi vengono usate principalmente per il funzionamento dei computer, ma sono essenziali anche nella meccanica, nella chimica, oppure nella matematica finanziaria.
Una matrice è un insieme, più precisamente una tabella, di numeri che sono organizzati in colonne e in righe; come in questo esempio: . Chiameremo m il numero delle righe e n quello delle colonne, in questo caso m=2 e n=3.
Esistono vari tipi di matrici:
- matrice quadrata, dove m=n, ovvero la sua “forma” è riconducibile a quella di un quadrato perché il numero delle righe è uguale al numero delle colonne. Si definisce diagonale principale di una matrice quadrata, il vettore composto dagli elementi che formano la diagonale, del “quadrato”, da in alto a sinistra a in basso a destra.
- matrice nulla, chiamata così perché è composta solo da 0.
- matrice identità, quella la cui diagonale principale è composta solo da 1.
Come per i numeri, anche con le matrici è possibile effettuare delle operazioni aritmetiche, addizione e prodotto, a patto che le matrici abbiano lo stesso numero di righe e di colonne.
