Risolvere esercizi sulle espressioni algebriche
Uno dei principali argomenti che gli studenti, soprattutto quelli delle scuole medie e del primo anno delle superiori, devono affrontare sono le espressioni algebriche. In questo tipo di operazioni, si ricorre al calcolo letterale, che è quell’insieme di operazioni algebriche espresse sia con fattori numerici che con fattori letterari.
Gli esercizi riguardanti le espressioni algebriche possono, a prima vista, sembrare complessi. Niente paura però! Facendo molta pratica e seguendo le regole presenti in questo articolo riuscirai sicuramente a risolvere gli esercizi senza problemi.
Sommario
Cosa sono le espressioni algebriche
Con il termine espressione in matematica viene indicato un insieme di numeri legati da segni di operazioni matematiche, detti operatori matematici. Le espressioni algebriche, invece, vengono chiamate così perché oltre ai numeri compaiono anche delle lettere.
Un’espressione algebrica può essere:
- RAZIONALE, se all’interno compaiono solo le quattro operazioni fondamentali ( addizione, sottrazione, moltiplicazione e divisione) e le potenze.
- IRRAZIONALE se sono presenti anche le radici.
Se, in un’espressione, le variabili (le lettere) sono presenti anche al denominatore di una frazione, allora questa viene definita fratta, altrimenti si dice intera.
Naturalmente un’espressione algebrica può essere composta anche da monomi e polinomi, quindi è molto probabile trovare dei prodotti notevoli.
Le regole per la risoluzione di espressioni algebriche
Quando si risolvono gli esercizi sulle espressioni algebriche bisogna stare attenti ad alcune regole, delle convenzioni più che altro, da rispettare per eseguire le operazione nell’ordine corretto.
La regola delle parentesi
Si svolgono prima le operazioni tra parentesi tonde, poi quelle tra le parentesi quadre, dopo quelle tra le parentesi graffe, infine quelle all’esterno delle parentesi.
In questo esempio 
dobbiamo per prima risolvere la parentesi tonda, in questo modo: 
.
Successivamente possiamo risolvere la parentesi quadra sommando i coefficienti di a²b :
; 
e infine avremo 
Sommando i termini, il risultato dell’espressione sarà: .
La regola dei segni
Quando si ha a che fare con moltiplicazioni o divisioni algebriche, la regola fondamentale da seguire è quella dei segni.
La regola afferma che quando moltiplichiamo due valori (numerici o letterali) concordi, cioè con lo stesso segno, il risultato avrà segno “+”.
Per esempio, quindi, moltiplicando (+2a) per (+2b), il prodotto avrà segno positivo: .
Vale la stessa cosa per la divisione e per due valori entrambi negativi: 
.
Se, invece, moltiplichiamo o dividiamo due fattori discordi (con segno opposto), il risultato avrà segno “-“.
Esempio: , oppure .
L’ordine delle operazioni
Si svolgono prima le potenze, poi le moltiplicazioni e le divisioni, infine le addizioni e le sottrazioni se si trovano nelle stesse parentesi.
Nel caso seguente, ad esempio, 
dobbiamo risolvere prima le moltiplicazioni tra le parentisi tonde, e in seguito possiamo procedere sommando i termini che otteniamo:
Esercizi sulle espressioni algebriche
Ora, proviamo a risolvere alcuni esercizi tipo con le espressioni algebriche, simili a quelli che il tuo prof potrebbe mettere ad un compito.
ESERCIZIO 1: 
Per risolvere questa espressione dobbiamo tenere a mente le proprietà delle potenze. In particolare la prima proprietà, la quale afferma che quando si ha un prodotto tra potenze aventi la stessa base, bisogna sommare gli esponenti.
Pertanto avremo che : 
A questo punto basta “togliere” le parentesi, applicando la regola dei segni dove è necessario, e sommare i coefficienti dei termini uguali:
ESERCIZIO 2:
Questa volta, non ci basteranno le regole che abbiamo usato fin’ora, ma abbiamo bisogno dei prodotti notevoli. In particolare dobbiamo ricordare il cubo di binomio: (A+B)³=A³+B³+3A²B+3AB² ; e la somma per differenza: (A+B)(A-B)=A²-B².
Per prima cosa, quindi, ci conviene risolvere i prodotti notevoli:
Ora possiamo procedere addizionando i termini simili: 
Espressioni con le frazioni algebriche
Come abbiamo detto in precedenza, le espressioni algebriche non sono solamente intere, ma possono avere anche delle frazione, le quali hanno come numeratore e denominatore dei polinomi.
IL CAMPO DI ESISTENZA
In questi casi prima di procedere con il calcolo, dobbiamo trovare le condizioni di esistenza della frazione, ovvero dobbiamo escludere dal risultato tutti quei valori delle lettere che rendono l’espressione priva di significato.
Facciamo un esempio: se in un’espressione troviamo una frazione algebrica del tipo dobbiamo escludere come risultato x=9, perché in caso contrario avremo , che è una forma indeterminata.
Pertanto, appena iniziamo l’esercizio, dobbiamo scrivere che C.E.: x≠9.
LA SEMPLIFICAZIONE
Un’altra regola molto importante, da tenere ben a mente quando ti trovi davanti ad espressioni con le frazioni algebriche, è la semplificazione di quest’ultime.
Per semplificare, la prima cosa da fare è vedere se sia il numeratore che il denominatore possono essere scritti o scomposti in maniera diversa dalla quale ci vengono presentati nella traccia.
Ciò può avvenire tramite raccoglimento totale o parziale oppure attraverso la scomposizione dei prodotti notevoli nel caso ce ne siano.
ESERCIZIO:
La frazione si può riscrivere in questo modo , scomponendo il denominatore dell’ultima frazione come un quadrato di binomio.
A questo punto possiamo scrivere le condizioni di esistenza: C.E.: x≠0 ∧ y≠0
Le prime due parentesi sono una somma per differenza e pertanto le possiamo scrivere così:
L’espressione quindi è diventata . Ora basta moltiplicare la prima parentesi con il numeratore della seconda e poi semplificare: 
.
Il numeratore si può scomporre come (xy-1)(xy+1), in questo modo sarà possibile semplificare (xy+1) del numeratore con quello che sta al denominatore.
Problemi con le espressioni algebriche
Attraverso le espressioni algebriche, siamo anche in grado di risolvere problemi di geometria. È il caso del problema di seguito, il quale dice che:
“L’area totale della figura equivale al monomio mentre l’area del quadrato più piccolo è rappresentata dal monomio . Sapendo che l’altezza del rettangolo è uguale a x, scrivi il monomio che esprime il perimetro della figura“.
Sapendo che l’area del quadrato più piccolo è , possiamo trovarci la misura del suo lato, il quale, facendo una semplice formula inversa, riusciamo a capire che misura .
Se consideriamo il rettangolo più grande, sappiamo già che il suo lato minore misura . Per trovare quello maggiore dobbiamo prima trovare l’area del rettangolo, sottraendo all’area totale della figura quella del quadrato:.
Ora, usando nuovamente la formula inversa dell’area, troviamo il lato maggiore del rettangolo:
.
Non ci resta, quindi che trovare il perimetro: .
