Come studiare le formule di geometria solida

di Redazione

Matematica 26 Settembre 2018

Sommario

Cos’è la geometria?

La geometria è quella parte della scienza matematica che si occupa delle forme nel piano e nello spazio e delle loro mutue relazioni. Essa si divide specialmente in:

geometria piana: che si occupa delle figure geometriche nel piano. A partire dal concetto primitivo di retta, vengono costruiti i segmenti, e quindi i poligoni come il triangolo, il quadrato, il pentagono, l’esagono, ecc.

geometria solida: che studia le costruzioni geometriche nello spazio. Con segmenti e poligoni si costruiscono i poliedri, come il tetraedro, il cubo e la piramide.

In questo articolo andremo a parlare nel dettaglio della seconda: la geometria solida, le sue proprietà e le sue formule. Il tutto sarà focalizzato a capire come studiare meglio questa difficile materia.

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La geometria solida

Quindi possiamo dire che viene chiamata geometria solida quella branca della geometria che si interessa dei solidi, ovvero delle figure geometriche formate da punti tutti compresi in uno spazio tridimensionale.

In tale spazio, che è detto volumetrico ed è caratterizzato da tre diverse dimensioni, si possono considerare tre assi tra loro perpendicolari. L’asse x , l’asse y e l’asse z ; è proprio la presenza di tre assi che lo differenzia dallo spazio planare, provvisto di sole due dimensioni.

Il punto in cui i suddetti tre assi si incrociano è chiamato origine, e viene indicato con una O maiuscola. Dei tre assi, l’ x è la larghezza, l’ y l’altezza e lo z la profondità.

Andiamo a vedere nel dettaglio i solidi e il loro studio.

I solidi

I solidi, che come già detto sono le figure di cui la geometria solida si occupa, posseggono diversi elementi che le figure piane non hanno:

Il volume, in quanto si sviluppano in tre dimensioni
Le facce (solo per solidi dotati di superfici piane, nel caso di solidi dotati di superfici curve questa definizione non è possibile)
Gli spigoli
I vertici
Gli angoli diedri:
Gli angoloidi

Passiamo quindi a spiegare meglio questi elementi, per capire come funziona lo studio di un solido.

1. Il volume

Il volume è la misura dello spazio occupato da un corpo. Viene valutato ricorrendo a molte diverse unità di misura. L’unità adottata dal Sistema Internazionale è il metro cubo, simbolo m³.

Il volume di un oggetto solido è un valore numerico utilizzato per descrivere a tre dimensioni quanto spazio occupa il corpo. Ad oggetti ad una dimensione (come una linea) o a due dimensioni (come un quadrato) si assegna per convenzione volume zero in uno spazio tridimensionale.

Matematicamente i volumi sono definiti mediante l’applicazione di calcolo integrale, come se il corpo fosse formato dalla somma di una grandissima quantità di piccoli cubi. La generalizzazione di volume, arbitrariamente esteso a più dimensioni, viene chiamato contenuto.

Vediamo ora come si calcola il volume di qualche solido:

Volume del cubo:

$l^{3}=l\cdot l\cdot l$ dove l è la lunghezza degli spigoli.

Prisma rettangolare (o parallelepipedo rettangolo):

$a\cdot b\cdot c$ a è la lunghezza, b la larghezza, c l’altezza.

Cilindro:

$studiare geometria$ r il raggio del cerchio, h la distanza tra le basi.

Sfera:

${\frac {4}{3}}\pi \cdot r^{3}$ r il raggio della sfera.

Ellissoide:

${\frac {4}{3}}\pi \cdot a\cdot b\cdot c$ a, b, c sono i tre semiassi dell’ellissoide.

Piramide:

${\frac {1}{3}}A\cdot h$ A è l’area di base, h l’altezza dalla base all’apice.

Cono:

${\frac {1}{3}}\pi \cdot r^{2}\cdot h$ r è il raggio del cerchio alla base, h la distanza dalla base alla punta.

2. Le facce

In geometria, una faccia di un poliedro è uno dei poligoni che compongono il suo bordo o più semplicemente i poligoni che delimitano il poliedro. Ad esempio, il cubo ha sei facce: queste sono i sei quadrati che compongono il suo bordo.

Assieme ai vertici e agli spigoli, le facce sono una componente fondamentale di un poliedro: il suffisso -edro è infatti derivato dal greco hedra che vuol dire proprio faccia.

3. Gli spigoli

La parola spigolo è utilizzata nella geometria solida per indicare i segmenti comuni a due facce di un poliedro, ovvero i lati di tali facce.

Secondo una relazione scoperta da Eulero, il numero di spigoli in un poliedro è pari alla somma fra il numero di facce e il numero di vertici del poliedro stesso, diminuita di due.

Talora è detta spigolo anche la retta di intersezione fra due piani non paralleli.

4. I vertici

Il vertice, nella geometria solida è:

il punto in cui almeno tre facce di un poliedro convergono (ad esempio il vertice di una piramide). Esso è dunque formato dall’intersezione di tre o più diversi spigoli.
il punto di incontro della generatrice e dell’asse di un cono.

5. Gli angoli diedri

L’angolo diedro è una possibile estensione del concetto di angolo in uno spazio a tre dimensioni. Viene definito come la porzione di spazio compresa tra due semipiani (facce) aventi per origine la stessa retta, che viene detta spigolo.

La misura dell’angolo diedro coincide con la misura dell’angolo piano ottenuto sezionando l’angolo diedro con un piano perpendicolare allo spigolo (sezione normale).

6. Gli angoloidi

In geometria un angolo solido è un’estensione allo spazio tridimensionale del concetto di angolo piano.

Esso è definito come:

ciascuna delle due regioni in cui viene suddiviso lo spazio dalla superficie formata dalle semirette passanti per uno stesso punto (detto vertice dell’angolo solido) e per i punti di una curva chiusa semplice tracciata su una superficie non contenente il vertice.

L’unità di misura dell’angolo solido è lo steradiante.

Un caso particolare di angolo solido è l’angoloide poliedrico (o semplicemente angoloide) che si ottiene quando la curva è un poligono. Un angoloide può essere chiamato angoloide quadrico quando ammette che le proprie facce siano tangenti a una quadrica di rotazione, come avviene nel caso dell’angoloide triedrico.

Esistono poi i solidi di rotazione: vediamo meglio cosa sono.

Solidi di rotazione

Oltre che ai poliedri, la geometria solida si interessa anche ai cosiddetti solidi di rotazione, ovvero a quelle figure geometriche tridimensionali provviste di almeno una superficie curva.

Questi solidi sono chiamati “di rotazione” perché derivano dalla rotazione di diverse figure geometriche piane, come parabole, cerchi, rettangoli, triangoli e altre ancora.

Tra i solidi di rotazione più importanti ricordiamo la sfera (dal cerchio), il cilindro (dal rettangolo o dal quadrato) ed il cono (dal triangolo).

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