Trigonometria: concetti basi

di Redazione

Matematica 9 Maggio 2018

La trigonometria è la parte della matematica che studia i triangoli a partire dai loro angoli. Il compito principale della trigonometria, così come rivela l’etimologia del nome, consiste nel calcolare le misure che caratterizzano gli elementi di un triangolo (lati, angoli, mediane, etc.). partendo da altre misure già note (almeno tre, di cui almeno una lunghezza), per mezzo di speciali funzioni.

Sommario

Tale compito è indicato come risoluzione del triangolo.

È anche possibile servirsi di calcoli trigonometrici nella risoluzione di problemi correlati a figure geometriche più complesse, come poligoni o figure geometriche solide, ed in molti altri rami della matematica.

Le funzioni trigonometriche

Strumento indispensabile della trigonometria sono le funzioni trigonometriche.

Le funzioni trigonometriche o funzioni goniometriche o funzioni circolari sono funzioni di un angolo. Esse sono importanti nello studio dei triangoli e nella modellizzazione dei fenomeni periodici, oltre a un gran numero di altre applicazioni.

Vi sono sei funzioni trigonometriche di base, che sono elencate sotto insieme alle identità che le mettono in relazione. Specialmente per le ultime quattro, queste relazioni sono spesso prese come definizioni di quelle funzioni.

Seno	sin (o sen, nomenclatura italiana)	$\sin\theta = \cos \left(\frac{\pi}{2}-\theta\right)$
Coseno	cos	$\cos\theta=\sin\left(\frac{\pi}{2}-\theta\right)$
Tangente	tan (o tg)	$\tan\theta=\frac{1}{\cot\theta}=\frac{\sin\theta}{\cos\theta}=\cot\left(\frac{\pi}{2}-\theta\right)$
Cotangente	cot (o ctg)	$\cot\theta=\frac{1}{\tan\theta} =\frac{\cos\theta}{\sin\theta} = \tan\left(\frac{\pi}{2}-\theta\right)$
Secante	sec	$\sec\theta=\frac{1}{\cos \theta} = \csc\left(\frac{\pi}{2}-\theta\right)$
Cosecante	csc (o cosec)	$\csc\theta=\frac{1}{\sin\theta}=\sec\left(\frac{\pi}{2}-\theta \right)$

Ora che conosciamo queste funzioni di base, vediamo esattamente cosa rappresentano.

Definizioni delle funzioni trigonometriche

Al fine di definire le funzioni trigonometriche di un angolo A, si consideri un arbitrario triangolo rettangolo che contiene l’angolo A.

Quindi usiamo i seguenti nomi per indicare i lati del triangolo:

L’ipotenusa è il lato opposto all’angolo retto, o, equivalentemente, il lato più lungo di un triangolo rettangolo, in questo caso i.
Il lato opposto è il lato opposto all’angolo che prendiamo in considerazione, in questo caso a.
Il lato adiacente è il lato in contatto con l’angolo che prendiamo in considerazione e con l’angolo retto. In questo caso il lato adiacente è b.

Il seno

Il seno di un angolo è il rapporto fra la lunghezza del lato opposto e la lunghezza dell’ipotenusa. Ovvero:

\sin A={\frac {{\textrm {lato}}\ {\textrm {opposto}}}{\textrm {ipotenusa}}}={\frac {a}{i}}

È importante notare che questo rapporto non dipende dal particolare triangolo rettangolo scelto, purché contenga l’angolo A, dal momento che tutti questi triangoli sono simili.

Il coseno

Il coseno di un angolo è il rapporto fra la lunghezza del lato adiacente e la lunghezza dell’ipotenusa. Ovvero:

$\cos A={\frac {{\textrm {lato}}\ {\textrm {adiacente}}}{\textrm {ipotenusa}}}={\frac {b}{i}}$

La tangente

La tangente di un angolo è il rapporto fra la lunghezza del lato opposto e la lunghezza del lato adiacente. Ovvero:

\tan A={\frac {{\textrm {lato}}\ {\textrm {opposto}}}{{\textrm {lato}}\ {\textrm {adiacente}}}}={\frac {a}{b}}

Le altre tre funzioni possono essere definite utilizzando le tre definizioni che abbiamo già esaminato, in questo modo:

La cosecante

La cosecante csc(A) è l’inverso moltiplicativo di sin(A), ossia il rapporto fra la lunghezza dell’ipotenusa e quella del lato opposto:

\csc A={\frac {\textrm {ipotenusa}}{{\textrm {lato}}\ {\textrm {opposto}}}}={\frac {i}{a}}

La secante

La secante sec(A) è l’inverso moltiplicativo di cos(A), ossia il rapporto fra la lunghezza dell’ipotenusa e quella del lato adiacente:

\sec A={\frac {\textrm {ipotenusa}}{{\textrm {lato}}\ {\textrm {adiacente}}}}={\frac {i}{b}}

La cotangente

La cotangente cot(A) è l’inverso moltiplicativo di tan(A), ossia il rapporto fra la lunghezza del lato adiacente e quella del lato opposto:

\cot A={\frac {{\textrm {lato}}\ {\textrm {adiacente}}}{{\textrm {lato}}\ {\textrm {opposto}}}}={\frac {b}{a}}

Le funzioni trigonometriche, come dice il nome, sono di importanza cruciale nella trigonometria, principalmente per i due seguenti teoremi.

Teorema dei seni

Il teorema dei seni afferma che per ogni triangolo vale:

\frac{\mathrm{sen\,} A}{a} = \frac{\mathrm{sen\,} B}{b} = \frac{\mathrm{sen\,} C}{c}

scritto spesso come:

\frac{a}{\mathrm{sen\,} A} = \frac{b}{\mathrm{sen\,} B} = \frac{c}{\mathrm{sen\,} C} = 2R

Questo teorema si può dimostrare dividendo il triangolo in due triangoli rettangoli (tracciando l’altezza) e usando la definizione di seno. Il numero comune a/(sinA) è uguale al diametro della circonferenza circoscritta al triangolo, ossia quella passante per i tre punti A, B e C. Il teorema dei seni è utile per calcolare la lunghezza di lati ignoti di un triangolo se sono noti due angoli e un lato.

Teorema dei coseni

Il teorema del coseno o di Carnot è una generalizzazione a qualunque triangolo del teorema di Pitagora:

c^2=a^2+b^2-2ab\cos C

Ovvero:

\cos C=\frac{a^2+b^2-c^2}{2ab}

Anche questo teorema si può dimostrare dividendo il triangolo in due triangoli rettangoli. Il teorema di Carnot è utile per la risoluzione di un triangolo di cui siano noti due lati e l’angolo compreso fra di essi.

Spesso la trigonometria e le sue funzioni sono usate per risolvere problemi relativi a triangoli rettangoli, applicando i teoremi sopra elencati. Ma quei due teoremi non sono gli unici a essere validi e a dover essere ricordati.

Adesso vi spiegheremo come risolvere un triangolo rettangolo, dove per risolvere un triangolo rettangolo è sottinteso calcolare le misure dei lati e degli angoli del triangolo.

Risoluzione dei triangoli rettangoli

Per convenzione esiste una nomenclatura nei triangoli rettangoli, quindi ricordiamo che:

$\alpha=90^o$ e $\beta + \gamma =90^o$
un angolo è adiacente ad un cateto se il cateto risulta essere uno dei lati dell’angolo in questione.
un angolo è opposto ad un cateto se il cateto non è uno dei lati dell’angolo in questione.

Ad esempio $\beta$ è opposto al cateto $b$ e adiacente al cateto $c$ .

Sotto queste convenzioni in un triangolo rettangolo valgono i seguenti teoremi:

In un triangolo rettangolo un cateto è uguale al prodotto dell’ipotenusa con il seno dell’angolo opposto al cateto
In un triangolo rettangolo un cateto è uguale al prodotto dell’ipotenusa con il coseno dell’angolo acuto adiacente al cateto.
In un triangolo rettangolo un cateto è uguale al prodotto dell’altro cateto con la tangente dell’angolo opposto al cateto da calcolare.
In un triangolo rettangolo un cateto è uguale al prodotto dell’altro cateto con la cotangente dell’angolo acuto adiacente al cateto da calcolare.

Tali teoremi si traducono nelle seguenti formule trigonometriche, indispensabili per la risoluzione dei triangoli rettangoli.