{"id":3661,"date":"2018-10-30T09:50:47","date_gmt":"2018-10-30T07:50:47","guid":{"rendered":"https:\/\/www.ripetizioni.it\/blog\/?p=3661"},"modified":"2018-10-31T14:24:52","modified_gmt":"2018-10-31T12:24:52","slug":"frazioni-impariamole-insieme","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/www.ripetizioni.it\/blog\/frazioni-impariamole-insieme\/","title":{"rendered":"Frazioni: impariamole insieme"},"content":{"rendered":"<p>Le frazioni in matematica sono da sempre uno degli argomenti pi\u00f9 ostici. Nessuno tra gli studenti che le studia per la prima volta le ha mai capite davvero.<\/p>\n<p>&nbsp;<\/p>\n<p><em><strong><a href=\"https:\/\/www.ripetizioni.it\/lezioni-private\/matematica?utm_source=blog-ripetizioni&amp;utm_medium=referral&amp;utm_campaign=frazioni-impariamole-insieme\">Hai difficolt\u00e0 nel capire le frazioni? Non disperarti! Trova un tutor adatto a te su Skuola.net | Ripetizioni e inizia a recuperare fin da subito!<\/a><\/strong><\/em><\/p>\n<p>&nbsp;<\/p>\n<p>Se affermano il contrario, stanno mentendo. <strong>Un buon modo per prendere dimestichezza con questo difficile argomento \u00e8 quello di prendere delle ripetizioni di matematica<\/strong>, ma se avete solo bisogno di un chiarimento o di una semplificazione, ecco alcuni concetti base che \u00e8 sempre bene tenere presenti.<\/p>\n<p>Se invece sei gi\u00e0 bravissimo in matematica,<strong> diventa un nostro tutor!<\/strong><\/p>\n<p>&nbsp;<\/p>\n<h2><strong><span style=\"color: #0072bb;\">Ma cosa sono esattamente le frazioni?<\/span><\/strong><\/h2>\n<p>&nbsp;<\/p>\n<p>Una\u00a0<b>frazione,<\/b>\u00a0secondo la definizione classica dell&#8217;aritmetica,\u00a0\u00e8 un modo per <strong>esprimere una quantit\u00e0 basandosi sulla divisione di un oggetto in un certo numero di parti della stessa dimensione<\/strong>.<\/p>\n<p>&nbsp;<\/p>\n<p>Ad esempio, se si taglia una torta in quattro fette uguali, ciascuna di esse \u00e8 detta un quarto di torta (rappresentata con\u00a0<sup>1<\/sup>\u2044<sub>4<\/sub>); due quarti \u00e8 mezza torta, e otto quarti formano due torte.<\/p>\n<p>&nbsp;<\/p>\n<p>Una frazione indica il\u00a0<strong>rapporto\u00a0di due\u00a0numeri interi<\/strong>. I due numeri interi vengono separati da un trattino, detto\u00a0<b>linea di frazione<\/b>, che pu\u00f2 essere orizzontale, come in questi esempi:\u00a0<span class=\"mwe-math-element\"><img decoding=\"async\" class=\"mwe-math-fallback-image-inline\" src=\"https:\/\/wikimedia.org\/api\/rest_v1\/media\/math\/render\/svg\/bf410a24a2ff4229f6591c5c519d551d170dd8ff\" alt=\"{\\textstyle \\frac{1}{2},\\ \\frac {3}{4},\\ \\frac {5}{8} }\" aria-hidden=\"true\" \/><\/span>\u00a0oppure diagonale come\u00a0<big>\u00bd<\/big>,\u00a0<big>\u00be<\/big>,\u00a0<big>\u215d<\/big>.<\/p>\n<p>&nbsp;<\/p>\n<p>La frazione si compone di due elementi: <strong><em>denominatore<\/em> <\/strong>e <strong><em>numeratore<\/em><\/strong>.<\/p>\n<p>&nbsp;<\/p>\n<p><img decoding=\"async\" class=\"alignnone size-full wp-image-6907\" src=\"https:\/\/www.ripetizioni.it\/blog\/wp-content\/uploads\/2018\/10\/tabelline-1.jpg\" alt=\"\" width=\"1200\" height=\"700\" \/><\/p>\n<p>&nbsp;<\/p>\n<h2><strong><span style=\"color: #0072bb;\">Il denominatore e il numeratore<\/span><\/strong><\/h2>\n<p>&nbsp;<\/p>\n<p>Nell&#8217;esempio delle fette di torta di cui sopra, nella rappresentazione numerica come\u00a0<sup>1<\/sup>\u2044<sub>4<\/sub>\u00a0il numero in basso, detto\u00a0<b>denominatore<\/b>, indica il numero totale di parti uguali che compone la torta intera, e il numero in alto, il\u00a0<b>numeratore<\/b>, \u00e8 il numero di parti che \u00e8 stato preso.<\/p>\n<p>&nbsp;<\/p>\n<p>Il <strong>denominatore<\/strong> deve essere <strong>sempre diverso da zero<\/strong>: non \u00e8 infatti possibile effettuare una\u00a0divisione per zero.<\/p>\n<p>&nbsp;<\/p>\n<blockquote><p>Ma le frazioni sono composte solo dai numeri?<\/p><\/blockquote>\n<p>&nbsp;<\/p>\n<p>Ebbene, no, ne esistono anche di altri tipi.<\/p>\n<p>&nbsp;<\/p>\n<h2><span style=\"color: #0072bb;\"><strong>Le frazioni miste<\/strong><\/span><\/h2>\n<p>&nbsp;<\/p>\n<p>Il termine &#8220;frazione&#8221; \u00e8 usato per descrivere anche altri oggetti matematici. Nelle scuole si pu\u00f2 ad esempio sentire parlare di\u00a0<b>frazione mista<\/b>\u00a0o\u00a0<b>numero misto<\/b>: si tratta di un numero composto da una parte intera pi\u00f9 una frazione propria, rappresentato con la seguente notazione<span style=\"font-size: 10.5px;\">:<\/span><\/p>\n<p>&nbsp;<\/p>\n<dl>\n<dd><span class=\"mwe-math-element\"><img decoding=\"async\" class=\"mwe-math-fallback-image-inline\" src=\"https:\/\/wikimedia.org\/api\/rest_v1\/media\/math\/render\/svg\/6c020baf390ef11408fdeda0dc234b7f5fa3f44b\" alt=\"{\\textstyle a+{b \\over c}}\" aria-hidden=\"true\" \/><\/span>\u00a0essendo\u00a0<i>a, b, c<\/i>\u00a0dei numeri interi con\u00a0<i><span class=\"nowrap\">b &lt; c<\/span>\u00a0<\/i>come ad esempio in\u00a0<span class=\"mwe-math-element\"><img decoding=\"async\" class=\"mwe-math-fallback-image-inline\" src=\"https:\/\/wikimedia.org\/api\/rest_v1\/media\/math\/render\/svg\/6dcb11d6bdd71e0bbc25c80078d73388626c790b\" alt=\"{\\textstyle 5+{3 \\over 4}}\" aria-hidden=\"true\" \/><\/span>.<\/dd>\n<dd><\/dd>\n<\/dl>\n<p>Stabiliti questi concetti base, scendiamo pi\u00f9 nel merito dell&#8217;argomento. I numeri sono elementi comparabili, si pu\u00f2 infatti stabilire un maggiore e un minore. Anche con le frazioni <strong>\u00e8 possibile fare questo passaggio<\/strong>, ma diventa pi\u00f9 complicato, noi ora cercheremo di spiegarlo in modo semplice e chiaro.<\/p>\n<p>&nbsp;<\/p>\n<h2><span style=\"color: #0072bb;\"><strong>Il confronto tra frazioni<\/strong><\/span><\/h2>\n<p>&nbsp;<\/p>\n<p>Si possono confrontare tra di loro numeri razionali sia nella loro forma di frazione sia nella forma di numero decimale.<\/p>\n<p>&nbsp;<\/p>\n<ul>\n<li><b>Frazioni con lo stesso denominatore:<\/b>\u00a0essendo parti uguali della medesima suddivisione di un intero \u00e8 maggiore la frazione che ha il numeratore maggiore (perch\u00e9 sono pi\u00f9 parti uguali prese in considerazione).<\/li>\n<\/ul>\n<p>&nbsp;<\/p>\n<ul>\n<li><b>Frazioni con lo stesso numeratore: <\/b>essendo prese in considerazione, in questo caso, le medesime parti uguali della suddivisione di un intero, sar\u00e0 maggiore la frazione che ha il denominatore minore (a parit\u00e0 di parti sicuramente risultano parti maggiori se la divisione \u00e8 stata fatta in minor parti uguali).<\/li>\n<\/ul>\n<p>&nbsp;<\/p>\n<ul>\n<li><b>Frazioni con numeratore e denominatore diversi:<\/b>\u00a0un confronto tra due frazioni potr\u00e0 essere immediato se si confronta una frazione propria (minori di 1) e una impropria (maggiori di 1).<\/li>\n<\/ul>\n<p>&nbsp;<\/p>\n<p>Negli altri casi dovendo confrontare pi\u00f9 frazioni, conviene ridurle tutte al <strong>medesimo denominatore<\/strong>, facendo cio\u00e8 riferimento alle medesime parti uguali: dovendo confrontare\u00a0<span class=\"mwe-math-element\"><img decoding=\"async\" class=\"mwe-math-fallback-image-inline\" src=\"https:\/\/wikimedia.org\/api\/rest_v1\/media\/math\/render\/svg\/212f669578828b1239bc7f39310f500c324dd38e\" alt=\"{\\textstyle \\frac{a}{b}}\" aria-hidden=\"true\" \/><\/span>\u00a0e\u00a0<span class=\"mwe-math-element\"><img decoding=\"async\" class=\"mwe-math-fallback-image-inline\" src=\"https:\/\/wikimedia.org\/api\/rest_v1\/media\/math\/render\/svg\/2cf2f1eada69b1e5c4e09a614c459d9943fa30ed\" alt=\"{\\textstyle \\frac{c}{d}}\" aria-hidden=\"true\" \/><\/span>, si convertono le frazioni in\u00a0<span class=\"mwe-math-element\"><img decoding=\"async\" class=\"mwe-math-fallback-image-inline\" src=\"https:\/\/wikimedia.org\/api\/rest_v1\/media\/math\/render\/svg\/fd84ce2fabe35e2090a66c4f9ecbc4116e002d84\" alt=\"{\\textstyle \\frac{a\\,d}{b\\,d}}\" aria-hidden=\"true\" \/><\/span>\u00a0e\u00a0<span class=\"mwe-math-element\"><img decoding=\"async\" class=\"mwe-math-fallback-image-inline\" src=\"https:\/\/wikimedia.org\/api\/rest_v1\/media\/math\/render\/svg\/c5aa5d26eb42f565a3d117a459c43a1833a5f712\" alt=\"{\\textstyle \\frac{b\\,c}{b\\,d}}\" aria-hidden=\"true\" \/><\/span>, dove il comune denominatore\u00a0<i>bd<\/i>\u00a0\u00e8 il prodotto dei denominatori da confrontare; si confrontano poi i numeratori tra loro: gli interi\u00a0<i>ad<\/i>\u00a0e\u00a0<i>bc<\/i>.<\/p>\n<p>&nbsp;<\/p>\n<p><img decoding=\"async\" class=\"size-medium aligncenter\" src=\"https:\/\/upload.wikimedia.org\/wikipedia\/commons\/thumb\/9\/94\/PieChartFractionComparisonFourthsThirdsLess.svg\/2000px-PieChartFractionComparisonFourthsThirdsLess.svg.png\" width=\"2000\" height=\"1000\" \/><\/p>\n<p>&nbsp;<\/p>\n<h2><span style=\"color: #0072bb;\"><strong>Addizione e sottrazione<\/strong><\/span><\/h2>\n<p>&nbsp;<\/p>\n<p><strong>La regola per l&#8217;addizione e per la sottrazione di due frazioni<\/strong> \u00e8 un po&#8217; complicata; anche qua pu\u00f2 essere utile tornare all&#8217;esempio della torta per ricavare la regola generale.<\/p>\n<p>&nbsp;<\/p>\n<blockquote><p>Se due torte uguali sono tagliate rispettivamente in quattro e cinque parti e io prendo una fetta di ciascuna, quanta parte di torta ho?<\/p><\/blockquote>\n<p>&nbsp;<\/p>\n<p>Immaginiamo di dividere ciascuna fetta della prima torta in altre cinque parti uguali, e ciascuna fetta della seconda torta in quattro parti uguali. A questo punto ho diviso entrambe le torte in\u00a0<span class=\"nowrap\">5 \u00d7 4 = 20<\/span>\u00a0parti; di queste ne ho cinque dalla prima torta e quattro dalla seconda, per un totale di nove fettine.<\/p>\n<p>&nbsp;<\/p>\n<p>Parlando numericamente, l&#8217;esempio sarebbe questo:<\/p>\n<p>&nbsp;<\/p>\n<dl>\n<dd><span class=\"mwe-math-element\"><img decoding=\"async\" class=\"mwe-math-fallback-image-inline\" src=\"https:\/\/wikimedia.org\/api\/rest_v1\/media\/math\/render\/svg\/dab5e3541fd6258ea3ba0e71114f3522c9f42985\" alt=\"{1 \\over 4}+{1 \\over 5}={{5+4} \\over {5\\times 4}}={9 \\over 20}\" aria-hidden=\"true\" \/><\/span>.<\/dd>\n<dd><\/dd>\n<\/dl>\n<p>La formula generale per sommare due frazioni \u00e8 data quindi da:<\/p>\n<p>&nbsp;<\/p>\n<dl>\n<dd><span class=\"mwe-math-element\"><img decoding=\"async\" class=\"mwe-math-fallback-image-inline\" src=\"https:\/\/wikimedia.org\/api\/rest_v1\/media\/math\/render\/svg\/c29a638880da037b9a84db5ea11d69bc9c6611e1\" alt=\"{a \\over b}+{c \\over d}={{ad+bc} \\over {bd}}\" aria-hidden=\"true\" \/>.<\/span><\/dd>\n<dd><\/dd>\n<\/dl>\n<p>Per le sottrazioni serve usare la stessa regola di base, infatti baster\u00e0 semplicemente sottrarre invece di addizionare durante l&#8217;ultimo passaggio.<\/p>\n<p>&nbsp;<\/p>\n<dl>\n<dd><\/dd>\n<\/dl>\n<dl>\n<dd><\/dd>\n<\/dl>\n<h2><span style=\"color: #0072bb;\"><strong>Moltiplicazione e divisione<\/strong><\/span><\/h2>\n<p>&nbsp;<\/p>\n<p>Dopo aver visto le addizioni e quindi anche le sottrazioni con le frazioni, possiamo dire che le operazioni pi\u00f9 semplici da compiere con le frazioni sono la moltiplicazione e la divisione. Ecco come vengono effettuate tali operazioni.<\/p>\n<p>&nbsp;<\/p>\n<p>Tornando all&#8217;esempio della torta, se abbiamo tre persone che ottengono ciascuna un quarto della torta finiamo col distribuirne tre quarti. Numericamente, <strong>possiamo scrivere<\/strong>:<\/p>\n<p>&nbsp;<\/p>\n<dl>\n<dd><span class=\"mwe-math-element\"><img decoding=\"async\" class=\"mwe-math-fallback-image-inline\" src=\"https:\/\/wikimedia.org\/api\/rest_v1\/media\/math\/render\/svg\/869876c176dcc17b93defed45300ea4163e468e6\" alt=\"3\\times {1 \\over 4}={3 \\over 4}\" aria-hidden=\"true\" \/>.<\/span><\/dd>\n<dd><\/dd>\n<\/dl>\n<p>Riprendendo la nostra torta, se ne abbiamo preso un quarto e di questa vogliamo prenderne un terzo,<strong> ne otterremo un dodicesimo<\/strong>.<\/p>\n<p>&nbsp;<\/p>\n<p>Infatti facciamo tre parti uguali della nostra fetta e ne prendiamo una: ma se avessimo diviso in tre parti tutte e quattro le fette iniziali saremmo arrivati a quattro volte tre fette; <strong>cio\u00e8 12 fette<\/strong>. In altre parole,<strong> un terzo di un quarto (o &#8220;un terzo di volte un quarto&#8221;) \u00e8 un dodicesimo.<\/strong><\/p>\n<p>&nbsp;<\/p>\n<p><em>Numericamente quindi abbiamo:<\/em><\/p>\n<p>&nbsp;<\/p>\n<dl>\n<dd><span class=\"mwe-math-element\"><img decoding=\"async\" class=\"mwe-math-fallback-image-inline\" src=\"https:\/\/wikimedia.org\/api\/rest_v1\/media\/math\/render\/svg\/6825f83ef6d015932f2fe930f962732ead6f8416\" alt=\"{1 \\over 3}\\times {1 \\over 4}={1 \\over 12}\" aria-hidden=\"true\" \/>.<\/span><\/dd>\n<dd><\/dd>\n<\/dl>\n<p>In pratica, si pu\u00f2 notare come per moltiplicare due frazioni possiamo semplicemente <strong>moltiplicare i due numeratori tra loro<\/strong>, e<strong> i due denominatori tra loro<\/strong>, e usare i risultati come rispettivamente numeratore e denominatore del prodotto.<\/p>\n<p>&nbsp;<\/p>\n<p><em>Ad esempio:<\/em><\/p>\n<p>&nbsp;<\/p>\n<dl>\n<dd><span class=\"mwe-math-element\"><img decoding=\"async\" class=\"mwe-math-fallback-image-inline\" src=\"https:\/\/wikimedia.org\/api\/rest_v1\/media\/math\/render\/svg\/a2afe2ec0ef2f37ad7be9a97b9fa7ebcbcbd562d\" alt=\"{5 \\over 6}\\times {7 \\over 8}={5\\times 7 \\over 6\\times 8}={35 \\over 48}\" aria-hidden=\"true\" \/><\/span><\/dd>\n<dd><\/dd>\n<\/dl>\n<p><em>o algebricamente:<\/em><\/p>\n<p>&nbsp;<\/p>\n<dl>\n<dd><span class=\"mwe-math-element\"><img decoding=\"async\" class=\"mwe-math-fallback-image-inline\" src=\"https:\/\/wikimedia.org\/api\/rest_v1\/media\/math\/render\/svg\/d2ca6cdf7593423fe3b9e54161a531f2ac67c9f3\" alt=\"{a \\over b}\\times {c \\over d}={ac \\over bd}\" aria-hidden=\"true\" \/>.<\/span><\/dd>\n<dd><\/dd>\n<\/dl>\n<p>Invece per quanto riguarda la divisione, il sistema pi\u00f9 semplice di dividere due frazioni tra di loro \u00e8 moltiplicare la prima frazione per l&#8217;inverso della seconda.<\/p>\n<p>&nbsp;<\/p>\n<p><em>Ecco un esempio:<\/em><\/p>\n<p>&nbsp;<\/p>\n<dl>\n<dd><span class=\"mwe-math-element\"><img decoding=\"async\" class=\"mwe-math-fallback-image-inline\" src=\"https:\/\/wikimedia.org\/api\/rest_v1\/media\/math\/render\/svg\/b704c0b544601541cf9c640219da4ed38f183fc0\" alt=\"{5 \\over 6}:{20 \\over 3}={5 \\over 6}\\times {3 \\over 20}={1 \\over 2}\\times {1 \\over 4}={1 \\over 8}\" aria-hidden=\"true\" \/>.<\/span><\/dd>\n<dd><\/dd>\n<\/dl>\n<h2><span style=\"color: #0072bb;\"><strong>Propriet\u00e0 commutativa<\/strong><\/span><\/h2>\n<p>&nbsp;<\/p>\n<p>Inoltre \u00e8 importante ricordare che la moltiplicazione gode della\u00a0<i>propriet\u00e0 commutativa<\/i>, il che significa semplicemente che l&#8217;ordine dei fattori non conta, e tre volte un quarto \u00e8 uguale a un quarto di tre.<\/p>\n<p>&nbsp;<\/p>\n<p>In pratica, numericamente sarebbe:<\/p>\n<p>&nbsp;<\/p>\n<dl>\n<dd><span class=\"mwe-math-element\"><img decoding=\"async\" class=\"mwe-math-fallback-image-inline\" src=\"https:\/\/wikimedia.org\/api\/rest_v1\/media\/math\/render\/svg\/cca34ae6cefd8b908ecae1efa01b7d0500654a20\" alt=\"3\\times {1 \\over 4}={1 \\over 4}\\times 3={3 \\over 4}\" aria-hidden=\"true\" \/>.<\/span><\/dd>\n<dd><\/dd>\n<\/dl>\n<p><strong>Queste sono alcuni concetti base per iniziare a prendere confidenza con questo argomento, tanto odiato dagli studenti.<\/strong><\/p>\n<p>&nbsp;<\/p>\n<p style=\"text-align: center;\"><em><strong><a href=\"https:\/\/www.ripetizioni.it\/lezioni-private\/matematica?utm_source=blog-ripetizioni&amp;utm_medium=referral&amp;utm_campaign=frazioni-impariamole-insieme\">Hai difficolt\u00e0 nel capire le frazioni? 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