{"id":4665,"date":"2018-07-20T11:00:55","date_gmt":"2018-07-20T09:00:55","guid":{"rendered":"https:\/\/www.ripetizioni.it\/blog\/?p=4665"},"modified":"2018-09-14T09:54:16","modified_gmt":"2018-09-14T07:54:16","slug":"come-studiare-le-formule-di-geometria-piana","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/www.ripetizioni.it\/blog\/come-studiare-le-formule-di-geometria-piana\/","title":{"rendered":"Come studiare le formule di geometria piana"},"content":{"rendered":"<p>La geometria \u00e8 da sempre una delle materie meno apprezzate dagli studenti.<\/p>\n<p>Ti servono ripetizioni di matematica? <a href=\"https:\/\/www.ripetizioni.it\/lezioni-private\/matematica\">Clicca qui per cercare il Tutor perfetto per te<\/a>!<\/p>\n<h2>Ma esattamente cos&#8217;\u00e8 la geometria?<\/h2>\n<p><script src=\"https:\/\/skuolanet.activehosted.com\/f\/embed.php?id=23\" type=\"text\/javascript\" charset=\"utf-8\"><\/script><br \/>\nLa geometria \u00e8 quella parte della scienza matematica che si occupa delle forme nel piano e nello spazio e delle loro mutue relazioni. Essa si divide specialmente in:<\/p>\n<ul>\n<li><strong>geometria piana<\/strong>: che\u00a0si occupa delle figure geometriche nel piano. A partire dal concetto primitivo di retta, vengono costruiti i segmenti, e quindi i poligoni come il triangolo, il quadrato, il pentagono, l&#8217;esagono, ecc.<\/li>\n<li><strong>geometria solida<\/strong>: che\u00a0studia le costruzioni geometriche nello spazio. Con segmenti e poligoni si costruiscono i poliedri, come il tetraedro, il cubo e la piramide.<\/li>\n<\/ul>\n<p>In questo articolo andremo a parlare nel dettaglio della prima: la geometria piana, le sue propriet\u00e0 e le sue formule. Il tutto sar\u00e0 focalizzato a capire come studiare meglio questa difficile materia.<\/p>\n<p><script src=\"https:\/\/skuolanet.activehosted.com\/f\/embed.php?id=23\" type=\"text\/javascript\" charset=\"utf-8\"><\/script><\/p>\n<p><img decoding=\"async\" class=\"size-full wp-image-4666 aligncenter\" src=\"https:\/\/www.ripetizioni.it\/blog\/wp-content\/uploads\/2018\/06\/gem-1.jpg\" alt=\"geometria piana\" width=\"940\" height=\"230\" \/><\/p>\n<h2>La geometria piana<\/h2>\n<p>Per geometria piana si intende quel ramo della geometria euclidea orientato, appunto, al piano.<\/p>\n<p>Ma esattamente, cosa si intende per geometria euclidea? Ve lo siete mai chiesto?<\/p>\n<p>La geometria euclidea \u00e8 un sistema matematico attribuito al matematico alessandrino Euclide, che la descrisse nei suoi Elementi. La sua geometria consiste nell&#8217;assunzione di cinque semplici e intuitivi concetti, detti assiomi o postulati, e nella derivazione, da detti assiomi, di altre proposizioni (teoremi) che non abbiano alcuna contraddizione con essi.<\/p>\n<p>Questa organizzazione della geometria permise l&#8217;introduzione della retta, del piano, della lunghezza e dell&#8217;area. Sebbene molte delle conclusioni di Euclide fossero gi\u00e0 conosciute dai matematici, egli mostr\u00f2 come queste potessero essere organizzate in una maniera deduttiva e con un sistema logico.<\/p>\n<p>Gli Elementi di Euclide iniziano con un&#8217;analisi della geometria piana, attualmente insegnata nelle scuole secondarie ed utilizzata come primo approccio alle dimostrazioni matematiche, per poi passare alla geometria solida in tre dimensioni.<\/p>\n<p><img decoding=\"async\" class=\"size-full wp-image-4667 aligncenter\" src=\"https:\/\/www.ripetizioni.it\/blog\/wp-content\/uploads\/2018\/06\/gem.gif\" alt=\"geometria piana\" width=\"910\" height=\"554\" \/><\/p>\n<h3>I cinque postulati<\/h3>\n<p>I 5 postulati di Euclide sono:<sup id=\"cite_ref-3\" class=\"reference\"><\/sup><\/p>\n<ol>\n<li><i>Tra due punti qualsiasi \u00e8 possibile tracciare una ed una sola retta;<\/i><\/li>\n<li><i>Si pu\u00f2 prolungare un segmento oltre i due punti indefinitamente;<\/i><\/li>\n<li><i>Dato un punto e una lunghezza, \u00e8 possibile descrivere un cerchio;<\/i><\/li>\n<li><i>Tutti gli angoli retti sono congruenti tra loro;<\/i><\/li>\n<li><i>Se una retta che taglia altre due rette determina dallo stesso lato angoli interni minori di due angoli retti, prolungando le due rette, esse si incontreranno dalla parte dove i due angoli sono minori di due retti.<\/i><\/li>\n<\/ol>\n<p>Ed \u00e8 proprio da questi postulati che prende le basi la geometria piana.<br \/>\nVediamo quindi i principali soggetti dello studio della geometria piana: i poligoni.<\/p>\n<h3>I poligoni<\/h3>\n<p>La parola &#8220;poligono&#8221; deriva dal greco \u03c0\u03bf\u03bb\u03cd\u03c2 (polys, &#8220;molti&#8221;) e \u03b3\u03c9\u03bd\u03af\u03b1 (g\u014dnia, &#8220;angolo&#8221;).<\/p>\n<p>In geometria un poligono \u00e8 una figura geometrica piana delimitata da una linea spezzata chiusa. I segmenti che compongono la spezzata chiusa si dicono lati del poligono e i punti in comune a due lati consecutivi si dicono vertici del poligono.<\/p>\n<p>Ricordiamo che una linea spezzata \u00e8 l&#8217;insieme finito e totalmente ordinato di segmenti, detti lati, che sono ordinatamente consecutivi e ordinatamente non adiacenti. Una linea spezzata \u00e8\u00a0<i>chiusa<\/i>\u00a0quando il secondo estremo dell&#8217;ultimo segmento coincide con il primo estremo del primo.<\/p>\n<p>Una linea spezzata \u00e8\u00a0<i>semplice<\/i>\u00a0(o\u00a0<i>non intrecciata<\/i>) se due lati non successivi, secondo l&#8217;ordinamento assegnato, non si intersecano (a parte il primo e l&#8217;ultimo lato che possono avere in comune rispettivamente il primo e il secondo estremo).<\/p>\n<p><img decoding=\"async\" class=\"size-full wp-image-4668 aligncenter\" src=\"https:\/\/www.ripetizioni.it\/blog\/wp-content\/uploads\/2018\/06\/gem1-1.jpg\" alt=\"geometria piana\" width=\"700\" height=\"368\" \/><\/p>\n<h3>Come vengono classificati i poligoni?<\/h3>\n<p>Ci sono pi\u00f9 fattori che contribuiscono alla classificazione dei diversi poligoni, vediamoli insieme.<\/p>\n<h4>Numero di lati<\/h4>\n<p>Una prima classificazione di un poligono riguarda il suo numero di lati.<\/p>\n<h4>Convessit\u00e0<\/h4>\n<p>Un poligono \u00e8: <strong>semplice<\/strong> se i lati del poligono non si intersecano.<\/p>\n<p>Mentre \u00e8 <strong>complesso<\/strong> (o intrecciato) se non \u00e8 semplice.<\/p>\n<p><em><strong>Un poligono semplice \u00e8<\/strong><\/em>: <strong>convesso<\/strong> se ogni angolo interno \u00e8 minore o uguale ad un angolo piatto (o, equivalentemente, se il prolungamento immaginario di ogni segmento che congiunge due suoi vertici va al di fuori del poligono).<\/p>\n<p>Mentre \u00e8 <strong>concavo<\/strong> se anche un solo angolo interno \u00e8 maggiore di 180\u00b0 (o, equivalentemente, se il prolungamento immaginario di uno o pi\u00f9 segmenti cade all&#8217;interno del poligono).<\/p>\n<h4>Simmetria con uguaglianza<\/h4>\n<p>In base alla simmetria, un poligono \u00e8:\u00a0<strong>equilatero<\/strong> se tutti i suoi lati sono uguali.<\/p>\n<p><strong>Equiangolo<\/strong> se tutti i suoi angoli sono uguali.<\/p>\n<p><strong>Ciclico <\/strong>se tutti i suoi vertici giacciono su un&#8217;unica circonferenza.<\/p>\n<p><strong>Regolare\u00a0<\/strong>se \u00e8 convesso, equilatero ed equiangolo (o, equivalentemente, se \u00e8 ciclico ed equilatero).<\/p>\n<p><strong>Irregolare <\/strong>se non \u00e8 regolare.<\/p>\n<p>Ora passiamo invece a scoprire le propriet\u00e0 che pu\u00f2 avere ogni poligono.<\/p>\n<h3>Le propriet\u00e0<\/h3>\n<h4><span id=\"Angoli\" class=\"mw-headline\">Angoli<\/span><\/h4>\n<p>La somma degli angoli interni di un poligono \u00e8 pari a tanti angoli piatti quanti sono i suoi lati <span class=\"mwe-math-element\"><img decoding=\"async\" class=\"mwe-math-fallback-image-inline\" src=\"https:\/\/wikimedia.org\/api\/rest_v1\/media\/math\/render\/svg\/829091f745070b9eb97a80244129025440a1cfac\" alt=\"l\" aria-hidden=\"true\" \/><\/span>, meno due<\/p>\n<dl>\n<dd><span class=\"mwe-math-element\"><img decoding=\"async\" class=\"mwe-math-fallback-image-inline\" src=\"https:\/\/wikimedia.org\/api\/rest_v1\/media\/math\/render\/svg\/4d87309795e1e9c6b1bb1be72ddcc2ec01179261\" alt=\"180^{\\circ }\\times (l-2).\" aria-hidden=\"true\" \/><\/span><\/dd>\n<\/dl>\n<p>Ad esempio, il poligono in figura ha cinque lati, e quindi:<\/p>\n<dl>\n<dd><span class=\"mwe-math-element\"><img decoding=\"async\" class=\"mwe-math-fallback-image-inline\" src=\"https:\/\/wikimedia.org\/api\/rest_v1\/media\/math\/render\/svg\/c6211a349e1b9fffdc0212b05ecba73f78067a26\" alt=\"\\alpha +\\beta +\\gamma +\\delta +\\varepsilon =(5-2)\\times 180^{\\circ }=540^{\\circ }.\" aria-hidden=\"true\" \/><\/span><\/dd>\n<\/dl>\n<p>La dimostrazione pu\u00f2 essere svolta per\u00a0induzione: in un triangolo la somma degli angoli \u00e8\u00a0<span class=\"mwe-math-element\"><img decoding=\"async\" class=\"mwe-math-fallback-image-inline\" src=\"https:\/\/wikimedia.org\/api\/rest_v1\/media\/math\/render\/svg\/c5d0431ce231935522dc0cb52df7f2b406cdadc3\" alt=\"180^{\\circ }\" aria-hidden=\"true\" \/><\/span>, e preso un qualunque poligono una sua diagonale lo divide in due altri poligoni con un numero minore di lati, per cui si pu\u00f2 far valere l&#8217;ipotesi induttiva.<\/p>\n<p>La somma degli angoli esterni di un poligono convesso con\u00a0<span class=\"mwe-math-element\"><img decoding=\"async\" class=\"mwe-math-fallback-image-inline\" src=\"https:\/\/wikimedia.org\/api\/rest_v1\/media\/math\/render\/svg\/a601995d55609f2d9f5e233e36fbe9ea26011b3b\" alt=\"n\" aria-hidden=\"true\" \/><\/span>\u00a0lati \u00e8 uguale a<\/p>\n<dl>\n<dd><span class=\"mwe-math-element\"><img decoding=\"async\" class=\"mwe-math-fallback-image-inline\" src=\"https:\/\/wikimedia.org\/api\/rest_v1\/media\/math\/render\/svg\/dcbb56c80cd2d056c65d795ac24b858088d5a726\" alt=\"(360^{\\circ }\\times n)-[180^{\\circ }\\times (n-2)]=180^{\\circ }\\times (n+2).\" aria-hidden=\"true\" \/><\/span><\/dd>\n<\/dl>\n<p>In quanto la somma di tutti gli angoli esterni ed interni \u00e8, evidentemente, uguale a\u00a0<span class=\"mwe-math-element\"><img decoding=\"async\" class=\"mwe-math-fallback-image-inline\" src=\"https:\/\/wikimedia.org\/api\/rest_v1\/media\/math\/render\/svg\/a601995d55609f2d9f5e233e36fbe9ea26011b3b\" alt=\"n\" aria-hidden=\"true\" \/><\/span>\u00a0volte un angolo giro: sottraendo al totale la somma di quelli interni, avremo la somma di quelli esterni.<\/p>\n<h4><span id=\"Area\" class=\"mw-headline\">Area<\/span><\/h4>\n<p>L&#8217;aera di un poligono con\u00a0<span class=\"mwe-math-element\"><img decoding=\"async\" class=\"mwe-math-fallback-image-inline\" src=\"https:\/\/wikimedia.org\/api\/rest_v1\/media\/math\/render\/svg\/a601995d55609f2d9f5e233e36fbe9ea26011b3b\" alt=\"n\" aria-hidden=\"true\" \/>\u00a0vertici<\/span>\u00a0aventi\u00a0coordinate cartesiane\u00a0<span class=\"mwe-math-element\"><img decoding=\"async\" class=\"mwe-math-fallback-image-inline\" src=\"https:\/\/wikimedia.org\/api\/rest_v1\/media\/math\/render\/svg\/62908e0a318efcaf4d61f95c12a7d1b6f19c9eae\" alt=\"(x_{i};y_{i})_{{i=1,\\ldots ,n}}\" aria-hidden=\"true\" \/>,<\/span> si calcola\u00a0nel modo seguente:<\/p>\n<dl>\n<dd><span class=\"mwe-math-element\"><img decoding=\"async\" class=\"mwe-math-fallback-image-inline\" src=\"https:\/\/wikimedia.org\/api\/rest_v1\/media\/math\/render\/svg\/1705e22d171c392e518999a490e7c09a67f47af5\" alt=\"A={\\frac {1}{2}}\\left|\\sum _{{i=1}}^{{n}}x_{i}y_{{i+1}}-\\sum _{{i=1}}^{{n}}x_{{i+1}}y_{i}\\right|\" aria-hidden=\"true\" \/><\/span><\/dd>\n<\/dl>\n<p>con la convenzione che\u00a0<span class=\"mwe-math-element\"><img decoding=\"async\" class=\"mwe-math-fallback-image-inline\" src=\"https:\/\/wikimedia.org\/api\/rest_v1\/media\/math\/render\/svg\/94065e86e079b2935eb9b5d08cb0437b0a2386c7\" alt=\"(x_{{n+1}};y_{{n+1}})=(x_{1};y_{1})\" aria-hidden=\"true\" \/><\/span>.<\/p>\n<p>Con questa formula possiamo ricavare una superficie di una qualsiasi figura piana attraverso le coordinate dei suoi vertici. \u00c8 una formula molto utilizzata nella topografia e nella trigonometria.<\/p>\n<p>Ma esiste una versione molto pi\u00f9 facile di quella formula per le figure che di solito si studiano a scuola. Ecco nel dettaglio l&#8217;area applicata a diversi poligoni:<\/p>\n<p><strong>Triangolo<\/strong>:<strong>\u00a0<\/strong>L&#8217;area\u00a0<span class=\"mwe-math-element\"><img decoding=\"async\" class=\"mwe-math-fallback-image-inline\" src=\"https:\/\/wikimedia.org\/api\/rest_v1\/media\/math\/render\/svg\/7daff47fa58cdfd29dc333def748ff5fa4c923e3\" alt=\"A\" aria-hidden=\"true\" \/><\/span>\u00a0del triangolo pu\u00f2 essere misurata con la formula matematica:<\/p>\n<dl>\n<dd><img decoding=\"async\" class=\"mwe-math-fallback-image-inline\" src=\"https:\/\/wikimedia.org\/api\/rest_v1\/media\/math\/render\/svg\/6374b622fbe10332cfeb66f9c3394b77d01fc2a5\" alt=\"A={\\frac {bh}{2}},\" aria-hidden=\"true\" \/><\/dd>\n<\/dl>\n<p>dove <strong>b\u00a0<\/strong>\u00e8 la base e <strong>h\u00a0<\/strong>l&#8217;altezza ad essa relativa.<\/p>\n<p><img decoding=\"async\" class=\"size-full wp-image-4669 aligncenter\" src=\"https:\/\/www.ripetizioni.it\/blog\/wp-content\/uploads\/2018\/06\/gem2-1.jpg\" alt=\"geometria piana\" width=\"877\" height=\"500\" \/><\/p>\n<p><strong>Quadrato<\/strong>:\u00a0L&#8217;area di un quadrato, visto che l&#8217;altezza e la base sono congruenti, misura:<\/p>\n<dl>\n<dd><span class=\"mwe-math-element\"><img decoding=\"async\" class=\"mwe-math-fallback-image-inline\" src=\"https:\/\/wikimedia.org\/api\/rest_v1\/media\/math\/render\/svg\/df43772a25ac20a599629d53591921308d3e4691\" alt=\"{\\mbox{lato}}^{2}\" aria-hidden=\"true\" \/>.<\/span><\/dd>\n<\/dl>\n<p><strong>Rettangolo<\/strong>: L&#8217;area di un rettangolo \u00e8 data dalla formula:<\/p>\n<p><span class=\"mwe-math-element\"><img decoding=\"async\" class=\"mwe-math-fallback-image-inline\" src=\"https:\/\/wikimedia.org\/api\/rest_v1\/media\/math\/render\/svg\/93d00505eb27782cb8400c44ac99b64661cf5a68\" alt=\"{\\displaystyle A\\,=\\,b\\cdot h}\" aria-hidden=\"true\" \/>.<\/span><\/p>\n<p><strong>Trapezio<\/strong>:\u00a0L&#8217;area\u00a0<span class=\"mwe-math-element\"><img decoding=\"async\" class=\"mwe-math-fallback-image-inline\" src=\"https:\/\/wikimedia.org\/api\/rest_v1\/media\/math\/render\/svg\/7daff47fa58cdfd29dc333def748ff5fa4c923e3\" alt=\"A\" aria-hidden=\"true\" \/><\/span>\u00a0del trapezio si pu\u00f2 calcolare facendo la somma delle basi per l&#8217;altezza il tutto diviso due.<\/p>\n<dl>\n<dd><span class=\"mwe-math-element\"><img decoding=\"async\" class=\"mwe-math-fallback-image-inline\" src=\"https:\/\/wikimedia.org\/api\/rest_v1\/media\/math\/render\/svg\/14935900412009b4218e7e4d6c8abc15d3c013e2\" alt=\"{\\displaystyle A={\\frac {h\\cdot (B+b)}{2}}}\" aria-hidden=\"true\" \/>.<\/span><\/dd>\n<\/dl>\n<p><strong>Rombo<\/strong>:\u00a0L&#8217;area\u00a0del rombo si pu\u00f2 calcolare\u00a0come per tutti i\u00a0parallelogrammi, effettuando il prodotto della base\u00a0<span class=\"mwe-math-element\"><img decoding=\"async\" class=\"mwe-math-fallback-image-inline\" src=\"https:\/\/wikimedia.org\/api\/rest_v1\/media\/math\/render\/svg\/ffd2487510aa438433a2579450ab2b3d557e5edc\" alt=\"a\" aria-hidden=\"true\" \/><\/span>, coincidente con il lato del rombo, per l&#8217;altezza\u00a0<span class=\"mwe-math-element\"><img decoding=\"async\" class=\"mwe-math-fallback-image-inline\" src=\"https:\/\/wikimedia.org\/api\/rest_v1\/media\/math\/render\/svg\/b26be3e694314bc90c3215047e4a2010c6ee184a\" alt=\"h\" aria-hidden=\"true\" \/><\/span>:<\/p>\n<dl>\n<dd><span class=\"mwe-math-element\"><img decoding=\"async\" class=\"mwe-math-fallback-image-inline\" src=\"https:\/\/wikimedia.org\/api\/rest_v1\/media\/math\/render\/svg\/2cce8e70da5eb5e912ef4e4dd5fcd5d836cdaca7\" alt=\"A=a\\cdot h,\" aria-hidden=\"true\" \/><\/span><\/dd>\n<\/dl>\n<p>Questa era una breve introduzione alla geometria piana.<\/p>\n<p>Sei ancora confuso e senti di aver bisogno di ripetizioni di matematica? <a href=\"https:\/\/www.ripetizioni.it\/lezioni-private\/matematica\">Clicca qui per cercare il Tutor perfetto per te<\/a>!<\/p>\n<dl>\n<dd><\/dd>\n<\/dl>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"<p>La geometria \u00e8 da sempre una delle materie meno apprezzate dagli studenti. Ti servono ripetizioni di matematica? Clicca qui per cercare il Tutor perfetto per te! Ma esattamente cos&#8217;\u00e8 la geometria? La geometria \u00e8 quella parte della scienza matematica che si occupa delle forme nel piano e nello spazio e delle loro mutue relazioni. 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