{"id":4695,"date":"2018-06-06T12:00:57","date_gmt":"2018-06-06T10:00:57","guid":{"rendered":"https:\/\/www.ripetizioni.it\/blog\/?p=4695"},"modified":"2018-09-14T09:55:34","modified_gmt":"2018-09-14T07:55:34","slug":"come-studiare-la-parte-della-matematica-che-studia-i-vettori","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/www.ripetizioni.it\/blog\/come-studiare-la-parte-della-matematica-che-studia-i-vettori\/","title":{"rendered":"Come studiare la parte della matematica che studia i vettori"},"content":{"rendered":"<p>Piani cartesiani? Vettori? Rette? Punti? Rappresentazioni grafiche?<\/p>\n<p>Tutte parole che suonano molto bene, ma sai esattamente di cosa stiamo parlando quando vengono nominate?<\/p>\n<p>Se hai bisogno di aiuto in matematica, <a href=\"https:\/\/www.ripetizioni.it\/lezioni-private\/matematica\">clicca qui per metterti in contatto subito con i nostri Tutor<\/a>!<\/p>\n<p><script src=\"https:\/\/skuolanet.activehosted.com\/f\/embed.php?id=23\" type=\"text\/javascript\" charset=\"utf-8\"><\/script><br \/>\nMa se sei incuriosito e vuoi saperne di pi\u00f9 su questi strani termini, noi ti spiegheremo tutto quello che devi sapere sulla matematica vettoriale, partendo dal principio.<\/p>\n<h2>Che cos&#8217;\u00e8 un vettore?<\/h2>\n<p>Si definisce\u00a0<b>vettore<\/b>\u00a0l&#8217;entit\u00e0 algebrica corrispondente a un segmento orientato, dotata di un&#8217;intensit\u00e0 (anche detta modulo o valore assoluto), di una direzione e di un verso.<\/p>\n<p>In matematica un vettore \u00e8 un elemento di uno spazio vettoriale. I vettori sono quindi elementi che possono essere sommati fra loro e moltiplicati per dei numeri, detti scalari.<\/p>\n<p>I vettori sono comunemente usati in fisica. Vengono usati per indicare grandezze che sono completamente definite solo quando sono specificati sia una magnitudine (o modulo) che una direzione ed un verso rispetto ad un altro vettore o un sistema di vettori.<\/p>\n<p>Le grandezze che possono essere descritte in questo modo sono chiamate grandezze vettoriali. Esse sono in contrapposizione alle grandezze scalari che sono caratterizzate unicamente dallo loro magnitudine.<\/p>\n<p>Il concetto matematico di vettore nasce dall&#8217;idea intuitiva di una grandezza fisica (come ad esempio spostamento, accelerazione e forza) caratterizzata da intensit\u00e0, direzione e verso nello spazio tridimensionale.<\/p>\n<p>A seguito dell&#8217;introduzione delle coordinate cartesiane una grandezza di questo tipo poteva essere rappresentata da una terna di numeri reali. Ovvero le componenti relative a tre direzioni spaziali di riferimento. Nella successiva formalizzazione matematica si \u00e8 giunti a definire il concetto generale di spazio vettoriale, come insieme in cui \u00e8 definita l&#8217;operazione di combinazione lineare di due o pi\u00f9 elementi.<\/p>\n<h4>La pi\u00f9 semplice e riduttiva rappresentazione di vettore \u00e8 il segmento orientato.<\/h4>\n<div class=\"mathjax-container\">\n<p><img decoding=\"async\" class=\"size-full wp-image-4697\" src=\"https:\/\/www.ripetizioni.it\/blog\/wp-content\/uploads\/2018\/06\/mathr.jpg\" alt=\"\" width=\"2000\" height=\"1000\" \/><\/p>\n<\/div>\n<h2>Spazio vettoriale<\/h2>\n<p>I vettori sono definiti come facenti parte di uno\u00a0spazio vettoriale; il\u00a0piano cartesiano\u00a0<span class=\"mwe-math-element\"><img decoding=\"async\" class=\"mwe-math-fallback-image-inline\" src=\"https:\/\/wikimedia.org\/api\/rest_v1\/media\/math\/render\/svg\/e150115ab9f63023215109595b76686a1ff890fd\" alt=\"\\R^2\" aria-hidden=\"true\" \/>. Questo piano \u00e8<\/span>\u00a0inteso come\u00a0piano affine\u00a0con un punto fissato\u00a0<span class=\"mwe-math-element\"><img decoding=\"async\" class=\"mwe-math-fallback-image-inline\" src=\"https:\/\/wikimedia.org\/api\/rest_v1\/media\/math\/render\/svg\/9d70e1d0d87e2ef1092ea1ffe2923d9933ff18fc\" alt=\"O\" aria-hidden=\"true\" \/><\/span>, \u00e8 un esempio di spazio vettoriale.<\/p>\n<p>Un vettore \u00e8 rappresentato in tal caso come un punto del piano cartesiano determinato da una coppia di\u00a0numeri reali\u00a0<span class=\"mwe-math-element\"><img decoding=\"async\" class=\"mwe-math-fallback-image-inline\" src=\"https:\/\/wikimedia.org\/api\/rest_v1\/media\/math\/render\/svg\/41cf50e4a314ca8e2c30964baa8d26e5be7a9386\" alt=\"(x, y)\" aria-hidden=\"true\" \/><\/span>. Disegnando una freccia che parte nell&#8217;origine<span class=\"mwe-math-element\"><img decoding=\"async\" class=\"mwe-math-fallback-image-inline\" src=\"https:\/\/wikimedia.org\/api\/rest_v1\/media\/math\/render\/svg\/5d630d3e781a53b0a3559ae7e5b45f9479a3141a\" alt=\"(0, 0)\" aria-hidden=\"true\" \/><\/span>\u00a0e arriva in\u00a0<span class=\"mwe-math-element\"><img decoding=\"async\" class=\"mwe-math-fallback-image-inline\" src=\"https:\/\/wikimedia.org\/api\/rest_v1\/media\/math\/render\/svg\/41cf50e4a314ca8e2c30964baa8d26e5be7a9386\" alt=\"(x, y)\" aria-hidden=\"true\" \/><\/span>, si ottiene la\u00a0<i>rappresentazione geometrica<\/i>\u00a0del vettore\u00a0<span class=\"mwe-math-element\"><img decoding=\"async\" class=\"mwe-math-fallback-image-inline\" src=\"https:\/\/wikimedia.org\/api\/rest_v1\/media\/math\/render\/svg\/41cf50e4a314ca8e2c30964baa8d26e5be7a9386\" alt=\"(x, y)\" aria-hidden=\"true\" \/><\/span>.<\/p>\n<p>Nello spazio tridimensionale un vettore \u00e8 analogamente una terna di numeri reali\u00a0<span class=\"mwe-math-element\"><img decoding=\"async\" class=\"mwe-math-fallback-image-inline\" src=\"https:\/\/wikimedia.org\/api\/rest_v1\/media\/math\/render\/svg\/22a8c93372e8f8b6e24d523bd5545aed3430baf4\" alt=\"(x,y,z)\" aria-hidden=\"true\" \/><\/span>.<\/p>\n<h2>Componenti dei vettori<\/h2>\n<p>Collocato un vettore in un sistema (qualsiasi) di coordinate ortogonali, \u00e8 possibile scomporlo rispetto agli assi di quest&#8217;ultimo.<br \/>\nNel caso pi\u00f9 generale (cio\u00e8 nello spazio) un vettore \u00e8 completamente determinato dalle sue proiezioni sugli assi x, y, z, che ne costituiscono le\u00a0<strong>componenti vettoriali<\/strong>.<br \/>\nTali componenti sono vettori, di verso concorde all&#8217;orientamento del vettore che costituiscono.<br \/>\nDetti\u00a0<strong>versori<\/strong>\u00a0(o vettori unitari) i vettori\u00a0<strong>i<\/strong>,\u00a0<strong>j<\/strong>,\u00a0<strong>k<\/strong>\u00a0di intensit\u00e0 pari a 1, configurati secondo gli assi del sistema, le componenti vettoriali sono date dal prodotto di questi ultimi con i fattori che ne determinano il modulo, detti\u00a0<strong>componenti scalari<\/strong>.<\/p>\n<p><img decoding=\"async\" class=\"size-full wp-image-4699 aligncenter\" src=\"https:\/\/www.ripetizioni.it\/blog\/wp-content\/uploads\/2018\/06\/bbbbbbb.jpg\" alt=\"\" width=\"5676\" height=\"3784\" \/><\/p>\n<h3>Somma vettoriale<\/h3>\n<p>I vettori possono essere sommati e moltiplicati tra loro, ma solo seguendo queste regole.<\/p>\n<h4><strong>Somma algebrica di vettori<\/strong><\/h4>\n<p>La somma di due o pi\u00f9 vettori si pu\u00f2 ottenere, geometricamente, attraverso le seguenti regole.<\/p>\n<ul>\n<li><strong>Regola del parallelogramma<\/strong>: la somma di due vettori applicati a uno stesso punto corrisponde alla diagonale del parallelogramma che essi definiscono con le rispettive proiezioni.<\/li>\n<li><strong>Regola della poligonale<\/strong>: la somma di due o pi\u00f9 vettori applicati in sequenza corrisponde al vettore che congiunge il punto di applicazione del primo all&#8217;estremit\u00e0 dell&#8217;ultimo.<\/li>\n<\/ul>\n<p>Algebricamente, la somma di due o pi\u00f9 vettori corrisponde al vettore le cui componenti risultano dalla somma delle componenti dei vettori addendi.<\/p>\n<p><strong>NOTA<\/strong> &#8211; La somma di vettori \u00e8 un&#8217;operazione commutativa e associativa, cio\u00e8 non dipende in alcun modo dall&#8217;ordinamento o dal raggruppamento degli addendi.<\/p>\n<p>La differenza di due o pi\u00f9 vettori risulta analogamente alla somma, a partire dalla definizione di vettore opposto.<br \/>\nDato un vettore\u00a0<strong>v<\/strong>, si definisce\u00a0<strong>vettore opposto<\/strong>\u00a0il vettore\u00a0<strong>-v<\/strong>\u00a0di pari intensit\u00e0 e direzione, ma di verso contrario.<\/p>\n<p>La differenza di due vettori si ricava, quindi, dalla somma del primo all&#8217;opposto del secondo. Sono ugualmente applicabili le regole geometriche.<\/p>\n<p><img decoding=\"async\" class=\"size-full wp-image-4700 aligncenter\" src=\"https:\/\/www.ripetizioni.it\/blog\/wp-content\/uploads\/2018\/06\/book.jpg\" alt=\"\" width=\"3648\" height=\"2056\" \/><\/p>\n<h4><strong>Prodotto tra vettori e scalari<\/strong><\/h4>\n<p>Il prodotto s<strong>v<\/strong>\u00a0tra un vettore\u00a0<strong>v<\/strong>\u00a0e una grandezza scalare s restituisce un nuovo vettore cos\u00ec caratterizzato:<\/p>\n<ul>\n<li>l&#8217;intensit\u00e0 del nuovo vettore \u00e8 pari al prodotto algebrico tra il termine scalare s e il modulo di\u00a0<strong>v<\/strong>;<\/li>\n<li>la direzione del nuovo vettore \u00e8 pari alla direzione del vettore\u00a0<strong>v<\/strong>;<\/li>\n<li>il verso del nuovo vettore \u00e8 pari al verso di\u00a0<strong>v<\/strong>\u00a0se il termine scalare s \u00e8 positivo, contrario altrimenti.<\/li>\n<\/ul>\n<p><strong>NOTA<\/strong> &#8211; Il rapporto tra un vettore e una grandezza scalare s risulta, di conseguenza, dal prodotto tra il vettore stesso e il termine reciproco dello scalare, ossia 1\u2044s.<\/p>\n<h4><strong>Prodotto scalare<\/strong><\/h4>\n<p>Dati due vettori, si definisce\u00a0<strong>prodotto scalare<\/strong>\u00a0(o prodotto interno) l&#8217;operazione corrispondente al prodotto algebrico tra i loro moduli e il coseno dell&#8217;angolo \u03d5 che sottendono.<\/p>\n<p>Per definizione, il prodotto scalare ha le seguenti propriet\u00e0:<\/p>\n<ul>\n<li>restituisce sempre un risultato scalare;<\/li>\n<li>pu\u00f2 essere riscritto come il prodotto algebrico tra il modulo del primo vettore e la componente scalare del secondo lungo la direzione del primo (o viceversa);<\/li>\n<li>se i due vettori considerati sono sovrapposti l&#8217;angolo \u03d5 che sottendono misura 0\u00b0, nel qual caso\u00a0<span id=\"MathJax-Span-180\" class=\"mrow\"><span id=\"MathJax-Span-181\" class=\"mi\">cos<\/span><span id=\"MathJax-Span-182\" class=\"mo\"><\/span><span id=\"MathJax-Span-183\" class=\"mi\">\u03d5<\/span><span id=\"MathJax-Span-184\" class=\"mo\">=<\/span><span id=\"MathJax-Span-185\" class=\"mn\">1<\/span><\/span><span class=\"MJX_Assistive_MathML\" style=\"font-size: 17.6px; white-space: nowrap; word-spacing: normal;\" role=\"presentation\">cos\u2061\u03d5=1<\/span>\u00a0e il prodotto scalare \u00e8 pari al prodotto algebrico dei rispettivi moduli;<\/li>\n<li>se i due vettori considerati sono ortogonali l&#8217;angolo \u03d5 che sottendono misura 90\u00b0 o 270\u00b0, nel qual caso\u00a0<span id=\"MathJax-Span-187\" class=\"mrow\"><span id=\"MathJax-Span-188\" class=\"mi\">cos<\/span><span id=\"MathJax-Span-189\" class=\"mo\"><\/span><span id=\"MathJax-Span-190\" class=\"mo\">(<\/span><span id=\"MathJax-Span-191\" class=\"mi\">\u03d5<\/span><span id=\"MathJax-Span-192\" class=\"mo\">)<\/span><span id=\"MathJax-Span-193\" class=\"mo\">=<\/span><span id=\"MathJax-Span-194\" class=\"mn\">0<\/span><\/span><span class=\"MJX_Assistive_MathML\" style=\"font-size: 17.6px; white-space: nowrap; word-spacing: normal;\" role=\"presentation\">cos\u2061(\u03d5)=0<\/span>\u00a0e il loro prodotto scalare \u00e8 necessariamente nullo.<\/li>\n<\/ul>\n<p><strong>NOTA<\/strong> &#8211; Il prodotto scalare \u00e8 un&#8217;operazione commutativa e distributiva rispetto alla somma di vettori, ma non gode della propriet\u00e0 associativa.<\/p>\n<p>Questa era solo una breve introduzione all&#8217;argomento. Speriamo di aver risolto alcuni dei vostri dubbi pi\u00f9 urgenti. I vettori sono vostri amici, non ne abbiate paura.<\/p>\n<p>Se hai bisogno di aiuto in matematica, <a href=\"https:\/\/www.ripetizioni.it\/lezioni-private\/matematica\">clicca qui per metterti in contatto subito con i nostri Tutor<\/a>!<\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"<p>Piani cartesiani? Vettori? Rette? Punti? Rappresentazioni grafiche? Tutte parole che suonano molto bene, ma sai esattamente di cosa stiamo parlando quando vengono nominate? Se hai bisogno di aiuto in matematica, clicca qui per metterti in contatto subito con i nostri Tutor! 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