{"id":5455,"date":"2018-10-25T10:00:44","date_gmt":"2018-10-25T08:00:44","guid":{"rendered":"https:\/\/www.ripetizioni.it\/blog\/?p=5455"},"modified":"2018-10-25T10:46:51","modified_gmt":"2018-10-25T08:46:51","slug":"paradossi-matematici-i-piu-interessanti","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/www.ripetizioni.it\/blog\/paradossi-matematici-i-piu-interessanti\/","title":{"rendered":"Paradossi matematici: i pi\u00f9 interessanti"},"content":{"rendered":"

Un paradosso \u00e8<\/strong>, genericamente, la descrizione di un fatto che contraddice l’opinione comune o l’esperienza quotidiana, riuscendo perci\u00f2 sorprendente, straordinaria o bizzarra<\/strong><\/em>.<\/p>\n

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Pi\u00f9 precisamente, in senso logico-linguistico, indica sia un ragionamento che appare invalido, ma che deve essere accettato<\/strong>, sia un ragionamento che appare corretto, ma che porta a una contraddizione.<\/p>\n

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Potreste rimanere stupiti da quanto siano in realt\u00e0 interessanti i paradossi matematici<\/strong>.\u00a0Il paradosso infatti \u00e8 un potente stimolo per la riflessione<\/strong>.<\/p>\n

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Rivela sia la debolezza della nostra capacit\u00e0 di discernimento<\/strong> sia i limiti di alcuni strumenti intellettuali per il ragionamento.<\/p>\n

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Andiamo insieme alla scoperta di quei paradossi matematici insospettabilmente divertenti e affascinanti.<\/p>\n

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\"matematica\"<\/p>\n

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Paradosso del Grand Hotel di Hilbert<\/strong><\/span><\/h2>\n

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Il paradosso del Grand Hotel \u00e8 un celebre paradosso inventato dal matematico David Hilbert per mostrare alcune caratteristiche del concetto di infinito<\/strong>. Ecco cosa dice.<\/p>\n

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Hilbert immagina un hotel con infinite stanze, tutte occupate. Ed afferma che qualsiasi sia il numero di altri ospiti che sopraggiungano, sar\u00e0 sempre possibile ospitarli tutti. Anche se il loro numero \u00e8 infinito.<\/em><\/p><\/blockquote>\n

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Nel caso semplice, arriva un singolo nuovo ospite. Il furbo albergatore sposter\u00e0 tutti i clienti nella camera successiva<\/strong> (l’ospite della 1 alla 2, quello della 2 alla 3, etc.).<\/p>\n

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In questo modo, bench\u00e9 l’albergo fosse pieno \u00e8 comunque, essendo infinito, possibile sistemare il nuovo ospite.<\/p>\n

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Paradosso del compleanno<\/strong><\/span><\/h2>\n

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Il paradosso del compleanno (o problema del compleanno) \u00e8 un paradosso di teoria della probabilit\u00e0 definito nel 1939 da Richard von Mises.<\/p>\n

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Il paradosso afferma che la probabilit\u00e0 che almeno due persone in un gruppo compiano gli anni lo stesso giorno \u00e8 largamente superiore a quanto potrebbe dire l’intuito.<\/em><\/p><\/blockquote>\n

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Infatti gi\u00e0 in un gruppo di 23 persone la probabilit\u00e0 \u00e8 circa 0,51. Mentre con 30 persone essa supera 0,70, con 50 persone tocca addirittura 0,97.<\/p>\n

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Anche se per arrivare all’evento certo occorre considerare un gruppo di almeno 366 persone (367 se si considera l’anno bisestile).<\/p>\n

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\"paradossi<\/p>\n

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Paradosso dei due bambini<\/strong><\/span><\/h2>\n

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Viene detto paradosso dei due bambini un celebre quesito della teoria della probabilit\u00e0, apparentemente semplice ma in realt\u00e0 ambiguo e il cui studio porta a una risposta controintuitiva.<\/p>\n

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Esso \u00e8 spesso citato per mettere in evidenza la facilit\u00e0 con la quale nell’ambito della probabilit\u00e0 pu\u00f2 nascere confusione<\/strong> anche in contesti che a prima vista sembrano nient’affatto complicati da analizzare.<\/p>\n

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Il quesito in questione \u00e8, in una delle prime formulazioni:<\/p>\n

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Il signor Smith ha due bambini. Almeno uno dei due \u00e8 un maschio. Qual \u00e8 la probabilit\u00e0 che entrambi i bambini siano maschi?<\/em><\/p><\/blockquote>\n

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La risposta intuitiva \u00e8 che se, poniamo, \u00e8 maschio il primo bambino, la probabilit\u00e0 che anche l’altro lo sia \u00e8 1\/2=50%.<\/strong><\/p>\n

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In realt\u00e0 la domanda \u00e8 posta in modo ambiguo (\u00e8 facile pensare che con “almeno uno” si intenda “sicuramente uno che ho chiaramente individuato – ed eventualmente anche l’altro”).<\/p>\n

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Una possibile riformulazione – intuitivamente equivalente – che non dia adito ad ambiguit\u00e0 \u00e8 la seguente:<\/p>\n

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Il signor Smith ha due bambini. Non sono due femmine. Qual \u00e8 la probabilit\u00e0 che entrambi i bambini siano maschi?<\/em><\/p><\/blockquote>\n

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Non \u00e8 difficile, utilizzando semplici strumenti di probabilit\u00e0 classica, scoprire che la risposta \u00e8 allora 1\/3=33,3%.<\/strong><\/p>\n

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Nota bene:<\/strong> questo cosiddetto paradosso non ha nulla a che vedere con il fatto che in natura il numero di figli maschi sia diverso dal numero di figlie femmine. Infatti si assume invece che la probabilit\u00e0 di un figlio maschio sia a priori uguale a quella di una figlia femmina: 1\/2.<\/strong><\/p>\n<\/div>\n

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\"matematica\"<\/p>\n

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Paradosso di Russell<\/strong><\/span><\/h2>\n

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Il\u00a0paradosso di Russell \u00e8 stato formulato proprio dal\u00a0filosofo\u00a0e\u00a0logico\u00a0britannico\u00a0Bertrand Russell\u00a0tra il\u00a01901\u00a0e il\u00a01902. Questo paradosso \u00e8 una delle\u00a0antinomie\u00a0pi\u00f9 importanti della storia della filosofia e della logica.<\/p>\n

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Pu\u00f2 essere enunciato cos\u00ec:\u00a0<\/em><\/p>\n

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L’insieme di tutti gli insiemi che non appartengono a se stessi appartiene a se stesso se e solo se non appartiene a se stesso.<\/em><\/p><\/blockquote>\n

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Si tratta pi\u00f9 propriamente di un’antinomia che di un paradosso. Un paradosso \u00e8 una conclusione logica e non\u00a0contraddittoria\u00a0che si scontra con il nostro modo abituale di vedere le cose.<\/p>\n

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Mentre un’antinomia \u00e8 una proposizione che risulta autocontraddittoria sia nel caso che sia vera, sia nel caso che sia falsa.<\/strong><\/p>\n<\/div>\n

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L’antinomia di Russell pu\u00f2 essere espressa in modo “intuitivo<\/em>” per mezzo di altre formulazioni, come il\u00a0paradosso del barbiere\u00a0o quello\u00a0del bibliotecario.<\/p>\n

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Inoltre, essa \u00e8 basata su un ragionamento analogo a quello che porta sia al\u00a0paradosso dell’eterologicit\u00e0 di Grelling-Nelson, che, in ultima analisi, anche al paradosso del mentitore.<\/p>\n

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\"paradossi<\/p>\n

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Paradosso del barbiere<\/strong><\/span><\/h2>\n

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Il\u00a0paradosso del barbiere\u00a0\u00e8 un’antinomia\u00a0formulata dal\u00a0filosofo\u00a0e\u00a0logico\u00a0britannico\u00a0Bertrand Russell\u00a0nel\u00a01918. L’antinomia pu\u00f2 essere enunciata cos\u00ec:<\/p>\n

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In un villaggio vi \u00e8 un solo\u00a0barbiere, un uomo ben sbarbato, che rade\u00a0tutti e solo\u00a0gli uomini del villaggio che non si radono da soli. Chi rade il barbiere?<\/em><\/p><\/blockquote>\n

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Se, come apparirebbe plausibile, il barbiere si radesse da solo, verrebbe contraddetta la premessa secondo cui il barbiere rade solo gli uomini che non si radono da soli.<\/strong><\/p>\n

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Se invece il barbiere non si radesse autonomamente, allora dovrebbe essere rasato dal barbiere, che per\u00f2 \u00e8 lui stesso: in entrambi i casi si cade in una\u00a0contraddizione.<\/strong><\/p>\n

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La somiglianza con il paradosso di Russell sta nel fatto che il villaggio del barbiere si potrebbe considerare diviso in due parti:<\/strong><\/p>\n