<\/p>\n
Cosa sono le funzioni matematiche<\/strong><\/span><\/h2>\n <\/p>\n
Dati due insiemi A e B, una funzione<\/strong> \u00e8 una relazione che associa ad ogni numero reale di A uno e un solo numero di B.<\/p>\n <\/p>\n
Per esempio se prendiamo in considerazione la funzione\u00a0y=3x+5, questa associa a ogni valore di x un solo valore<\/strong> di y.<\/p>\n <\/p>\n
L’insieme A viene detto dominio<\/strong> della funzione, mentre l’inseme B,\u00a0 formato dalle immagini degli elementi di A, \u00e8 detto codominio<\/strong>. Allo stesso modo la x viene detta variabile indipendente<\/strong> e la y variabile dipendente<\/strong> perch\u00e9 appunto dipende dai valori attribuiti alla x.<\/p>\n <\/p>\n
Esistono due forme per descrivere una funzione: la forma implicita (-3x+y-5=0) e la forma esplicita<\/strong> (y=3x+5) che \u00e8 la pi\u00f9 usata.<\/p>\n <\/p>\n
Classificazione delle funzioni<\/b><\/span><\/h3>\n <\/p>\n
Una funzione algebrica pu\u00f2 essere:<\/p>\n
\n- Razionale intera<\/strong> (o polinomiale) quando al suo interno contiene dei polinomi. Se sono di primo grado sar\u00e0 lineare<\/span>, se di secondo grado la chiameremo quadratica<\/span>.<\/li>\n<\/ul>\n
<\/p>\n
\n- Razionale fratta<\/strong> se contiene al denominatore l’incognita x.<\/li>\n<\/ul>\n
<\/p>\n
\n- Irrazionale<\/strong> se la variabile x \u00e8 contenuta all’interno di una radice.<\/li>\n<\/ul>\n
<\/p>\n
Esistono altri tipi di funzioni che non sono algebriche e si chiamano trascendenti<\/strong>, come ad esempio la funzione y=sin(x) o la funzione esponenziale y=e^x.<\/p>\n <\/p>\n
![\"Immagine](\"https:\/\/www.educaciontrespuntocero.com\/wp-content\/uploads\/2016\/09\/ecuacion-matematicas-pixabay-696x418.jpg\")
<\/p>\n
<\/p>\n
Il dominio di una funzione<\/span><\/strong><\/h2>\n <\/p>\n
Chiameremo dominio<\/strong> della funzione l’insieme pi\u00f9 grande dei valori reali che si possono assegnare alla x affinch\u00e9 esista il corrispondente valore della y. Detto in questo modo, trovare il dominio di una funzione pu\u00f2 sembrare una cosa molto complicata; in realt\u00e0 \u00e8 molto pi\u00f9 facile a farsi che a dirsi.<\/p>\n <\/p>\n
Per prima cosa ci conviene trovare il campo<\/strong> (o condizioni) di esistenza<\/strong> della funzione che molto spesso viene erroneamente confuso con lo stesso dominio. Il C.E.\u00a0<\/strong>non \u00e8 altro che l’insieme dei valori della x per i quali la funzione \u00e8 definita.<\/p>\n <\/p>\n
Se quindi, per esempio, abbiamo la funzione y=(3x+2)\/(x-5), essa non esister\u00e0 nel caso in cui il denominatore sia uguale a 0; pertanto il nostro campo di esistenza sar\u00e0 C.E.: x\u22605. Per indicare il dominio, invece, scriveremo: D=]-\u221e,5[\u222a]5,+\u221e[<\/strong>; dove le parentesi quadre indicano gli intervalli i cui valori possono essere assegnati alla funzione affinch\u00e9 esistano dei valori della y.<\/p>\n <\/p>\n
Se due funzioni hanno lo stesso dominio, esse sono funzioni uguali.\u00a0<\/strong><\/p>\n <\/p>\n
Propriet\u00e0 delle funzioni<\/strong><\/span><\/h2>\n <\/p>\n
Funzione Iniettiva<\/strong><\/span><\/h4>\n <\/p>\n
Prendendo in considerazione due insiemi A e B, una funzione viene definita iniettiva<\/strong> se ogni<\/span> elemento di B \u00e8 immagine al<\/span> pi\u00f9<\/span> di un elemento di A. Ci\u00f2 significa che se per esempio prendiamo in considerazione una funzione qualsiasi del tipo y=\u0192(x)<\/em>, ogni valore delle y deve essere associato al massimo<\/strong> ad un solo valore delle ascisse (come la retta in figura).<\/p>\n <\/p>\n
La funzione della parabola nella seconda figura, non pu\u00f2 essere definita iniettiva perch\u00e9 per uno stesso valore delle ordinate corrispondono ben due valori delle x.<\/p>\n
<\/p>\n
![\"Risultati](\"http:\/\/www.lezionidimatematica.net\/Funzioni_reali\/immagini_lezioni\/lezione_28\/im_04.png\")
<\/p>\n
<\/p>\n
Funzione Suriettiva\u00a0<\/strong><\/span><\/h4>\n <\/p>\n
Un altro tipo di funzioni sono quelle suriettive<\/strong>, ovvero in cui ogni<\/span> elemento di B \u00e8 immagine almeno<\/span> di un elemento di A. Quindi qualunque valore tu scelga sull’asse delle y deve essere associato almeno ad un elemento delle x.<\/p>\n <\/p>\n
Nell’immagine che segue \u00e8 rappresentata una funzione suriettiva perch\u00e9, come potrai vedere, a qualunque punto delle ordinate ne corrisponde almeno uno delle ascisse, anzi a volte ne corrispondono anche di pi\u00f9.<\/p>\n
![\"Esempio](\"https:\/\/www.ripetizioni.it\/blog\/wp-content\/uploads\/2019\/03\/funzione-suriettiva.png\")
<\/p>\n
<\/p>\n
La seconda funzione, invece, esiste solo al di sopra dell’asse x, quindi nessuna ordinata negativa pu\u00f2 essere associata con una x; pertanto la funzione non \u00e8 suriettiva.<\/p>\n
<\/p>\n
![\"Risultati](\"http:\/\/www.lezionidimatematica.net\/Funzioni_reali\/immagini_lezioni\/lezione_32\/im_01.png\")
<\/p>\n
<\/p>\n
Funzione Biunivoca<\/strong><\/span><\/h4>\n <\/p>\n
Una funzione si dice biunivoca o biettiva<\/strong> se \u00e8 sia iniettiva e sia suriettiva, quindi se ogni valore scelto sull’asse y corrisponde ad uno e un solo valore sull’asse x; come nel caso in figura.<\/p>\n <\/p>\n
![\"Risultati](\"http:\/\/www.lezionidimatematica.net\/Funzioni_reali\/immagini_lezioni\/lezione_34\/im_01.png\")
<\/p>\n
<\/p>\n
Funzioni Pari e Dispari<\/strong><\/span><\/h4>\n <\/p>\n
\u2666Una funzione \u00e8 pari<\/strong><\/span> quando\u00a0\u0192(-x)=\u0192(x)\u00a0<\/strong><\/em>, essa quindi sar\u00e0 simmetrica rispetto all’asse delle ordinate (come nella figura 1). Una funzione del tipo y=x\u00b2+1<\/span><\/em> \u00e8 pari, perch\u00e9, calcolando\u00a0<\/em>\u0192(-x)<\/em>, avremo che\u00a0\u0192(-x)=(-x)\u00b2+1 \u21d2 y=x\u00b2+1<\/span> , ovvero\u00a0\u0192(x).<\/em><\/p>\n <\/p>\n
\u2666 Se in una funzione\u00a0\u0192(-x)=-\u0192(x)<\/strong><\/em>\u00a0<\/strong>, allora questa sar\u00e0 dispari<\/span><\/strong>, e, come il grafico della seconda figura, sar\u00e0 simmetrica rispetto all’origine degli assi. Ad esempio, y=x\u00b3-x<\/span><\/em> \u00e8 una funzione dispari perch\u00e9\u00a0\u0192(-x)=(-x)\u00b3-(-x)=-x\u00b3+x <\/em>che equivale a\u00a0 \u00a0 \u00a0 \u00a0 y=-(x\u00b3-x) <\/span><\/em>quindi \u00e8 vero che\u00a0\u0192(-x)=-\u0192(x).<\/em><\/span><\/span><\/p>\n <\/p>\n
![\"Funzioni](\"https:\/\/www.ripetizioni.it\/blog\/wp-content\/uploads\/2019\/03\/download.png\")
<\/p>\n
<\/p>\n
Le funzioni per\u00f2 non sono come i numeri che devono essere per forza pari o dispari. Una funzione infatti pu\u00f2 anche non possedere nessuna delle due propriet\u00e0, in questo caso diremo che non c’\u00e8 parit\u00e0<\/strong>.<\/p>\n <\/p>\n
Nel caso della funzione y=x\u00b3-1<\/strong>, se calcolassimo\u00a0\u0192(-x),<\/em> otterremmo una funzione diversa da quella di partenza, ovvero\u00a0 \u00a0 \u00a0 y=(-x)\u00b3-1=-x\u00b3-1=-(x\u00b3+1)<\/span><\/strong><\/em>, che non coincide n\u00e9 con\u00a0\u0192(x)<\/em> e n\u00e9 con\u00a0-\u0192(x)<\/em>. Pertanto la funzione non sar\u00e0 simmetrica n\u00e9 con l’asse y e n\u00e9 con l’origine.<\/span><\/span><\/p>\n <\/p>\n
Funzioni Periodiche<\/strong><\/h4>\n <\/p>\n
Considerando una funzione y=\u0192(x) , <\/span><\/span><\/em>viene definita periodica<\/strong>, di periodo <\/span><\/span>T,\u00a0<\/span><\/span><\/em>se, per qualsiasi numero k intero, si ha:\u00a0\u0192(x)=\u0192(x+kT) .\u00a0<\/strong><\/em>Essendo periodica, una funzione di questo tipo si ripete nel grafico in ogni intervallo T; le funzioni\u00a0sin(x)<\/em> e cos(x)<\/em> ad esempio ripetono il loro andamento ogni 2\u03c0, mentre le funzioni tangente e cotangente hanno come periodo\u00a0\u03c0.\u00a0<\/span><\/span><\/p>\n <\/p>\n
![\"Risultati](\"https:\/\/www.youmath.it\/images\/stories\/le-funzioni\/dimezzare-il-periodo-di-una-funzione.png\")
<\/p>\n
<\/p>\n
Funzioni Inverse<\/strong><\/span><\/h3>\n <\/p>\n
Data la funzione biunivoca y = \u0192(x) da A a B, la funzione inversa di f \u00e8 la funzione biunivoca x = \u0192^(-1)(y) da B ad A. Quando una funzione ammette la sua inversa, allora si dice invertibile<\/strong>.\u00a0\u00a0Nel caso in cui non lo fosse, \u00e8\u00a0possibile effettuare una restrizione del dominio per rendere la funzione biunivoca.<\/p>\n <\/p>\n
Ricorda!<\/strong><\/span>: il grafico di una funzione e quello della sua inversa sono simmetrici<\/strong> rispetto alla bisettrice del primo e del terzo quadrante.<\/p>\n <\/p>\n
![\"Risultati](\"https:\/\/www.youmath.it\/images\/stories\/le-funzioni\/grafico-dellinversa.png\")
<\/strong><\/h4>\n <\/p>\n
<\/p>\n
Per esempio se prendiamo in considerazione la funzione\u00a0y=3x+5, questa associa a ogni valore di x un solo valore<\/strong> di y.<\/p>\n <\/p>\n L’insieme A viene detto dominio<\/strong> della funzione, mentre l’inseme B,\u00a0 formato dalle immagini degli elementi di A, \u00e8 detto codominio<\/strong>. Allo stesso modo la x viene detta variabile indipendente<\/strong> e la y variabile dipendente<\/strong> perch\u00e9 appunto dipende dai valori attribuiti alla x.<\/p>\n <\/p>\n Esistono due forme per descrivere una funzione: la forma implicita (-3x+y-5=0) e la forma esplicita<\/strong> (y=3x+5) che \u00e8 la pi\u00f9 usata.<\/p>\n <\/p>\n <\/p>\n Una funzione algebrica pu\u00f2 essere:<\/p>\n <\/p>\n <\/p>\n <\/p>\n Esistono altri tipi di funzioni che non sono algebriche e si chiamano trascendenti<\/strong>, come ad esempio la funzione y=sin(x) o la funzione esponenziale y=e^x.<\/p>\n <\/p>\n <\/p>\n <\/p>\n Chiameremo dominio<\/strong> della funzione l’insieme pi\u00f9 grande dei valori reali che si possono assegnare alla x affinch\u00e9 esista il corrispondente valore della y. Detto in questo modo, trovare il dominio di una funzione pu\u00f2 sembrare una cosa molto complicata; in realt\u00e0 \u00e8 molto pi\u00f9 facile a farsi che a dirsi.<\/p>\n <\/p>\n Per prima cosa ci conviene trovare il campo<\/strong> (o condizioni) di esistenza<\/strong> della funzione che molto spesso viene erroneamente confuso con lo stesso dominio. Il C.E.\u00a0<\/strong>non \u00e8 altro che l’insieme dei valori della x per i quali la funzione \u00e8 definita.<\/p>\n <\/p>\n Se quindi, per esempio, abbiamo la funzione y=(3x+2)\/(x-5), essa non esister\u00e0 nel caso in cui il denominatore sia uguale a 0; pertanto il nostro campo di esistenza sar\u00e0 C.E.: x\u22605. Per indicare il dominio, invece, scriveremo: D=]-\u221e,5[\u222a]5,+\u221e[<\/strong>; dove le parentesi quadre indicano gli intervalli i cui valori possono essere assegnati alla funzione affinch\u00e9 esistano dei valori della y.<\/p>\n <\/p>\n Se due funzioni hanno lo stesso dominio, esse sono funzioni uguali.\u00a0<\/strong><\/p>\n <\/p>\n <\/p>\n <\/p>\n Prendendo in considerazione due insiemi A e B, una funzione viene definita iniettiva<\/strong> se ogni<\/span> elemento di B \u00e8 immagine al<\/span> pi\u00f9<\/span> di un elemento di A. Ci\u00f2 significa che se per esempio prendiamo in considerazione una funzione qualsiasi del tipo y=\u0192(x)<\/em>, ogni valore delle y deve essere associato al massimo<\/strong> ad un solo valore delle ascisse (come la retta in figura).<\/p>\n <\/p>\n La funzione della parabola nella seconda figura, non pu\u00f2 essere definita iniettiva perch\u00e9 per uno stesso valore delle ordinate corrispondono ben due valori delle x.<\/p>\n <\/p>\n <\/p>\n <\/p>\n Un altro tipo di funzioni sono quelle suriettive<\/strong>, ovvero in cui ogni<\/span> elemento di B \u00e8 immagine almeno<\/span> di un elemento di A. Quindi qualunque valore tu scelga sull’asse delle y deve essere associato almeno ad un elemento delle x.<\/p>\n <\/p>\n Nell’immagine che segue \u00e8 rappresentata una funzione suriettiva perch\u00e9, come potrai vedere, a qualunque punto delle ordinate ne corrisponde almeno uno delle ascisse, anzi a volte ne corrispondono anche di pi\u00f9.<\/p>\n <\/p>\n La seconda funzione, invece, esiste solo al di sopra dell’asse x, quindi nessuna ordinata negativa pu\u00f2 essere associata con una x; pertanto la funzione non \u00e8 suriettiva.<\/p>\n <\/p>\n <\/p>\n <\/p>\n Una funzione si dice biunivoca o biettiva<\/strong> se \u00e8 sia iniettiva e sia suriettiva, quindi se ogni valore scelto sull’asse y corrisponde ad uno e un solo valore sull’asse x; come nel caso in figura.<\/p>\n <\/p>\n <\/p>\n <\/p>\n \u2666Una funzione \u00e8 pari<\/strong><\/span> quando\u00a0\u0192(-x)=\u0192(x)\u00a0<\/strong><\/em>, essa quindi sar\u00e0 simmetrica rispetto all’asse delle ordinate (come nella figura 1). Una funzione del tipo y=x\u00b2+1<\/span><\/em> \u00e8 pari, perch\u00e9, calcolando\u00a0<\/em>\u0192(-x)<\/em>, avremo che\u00a0\u0192(-x)=(-x)\u00b2+1 \u21d2 y=x\u00b2+1<\/span> , ovvero\u00a0\u0192(x).<\/em><\/p>\n <\/p>\n \u2666 Se in una funzione\u00a0\u0192(-x)=-\u0192(x)<\/strong><\/em>\u00a0<\/strong>, allora questa sar\u00e0 dispari<\/span><\/strong>, e, come il grafico della seconda figura, sar\u00e0 simmetrica rispetto all’origine degli assi. Ad esempio, y=x\u00b3-x<\/span><\/em> \u00e8 una funzione dispari perch\u00e9\u00a0\u0192(-x)=(-x)\u00b3-(-x)=-x\u00b3+x <\/em>che equivale a\u00a0 \u00a0 \u00a0 \u00a0 y=-(x\u00b3-x) <\/span><\/em>quindi \u00e8 vero che\u00a0\u0192(-x)=-\u0192(x).<\/em><\/span><\/span><\/p>\n <\/p>\n <\/p>\n Le funzioni per\u00f2 non sono come i numeri che devono essere per forza pari o dispari. Una funzione infatti pu\u00f2 anche non possedere nessuna delle due propriet\u00e0, in questo caso diremo che non c’\u00e8 parit\u00e0<\/strong>.<\/p>\n <\/p>\n Nel caso della funzione y=x\u00b3-1<\/strong>, se calcolassimo\u00a0\u0192(-x),<\/em> otterremmo una funzione diversa da quella di partenza, ovvero\u00a0 \u00a0 \u00a0 y=(-x)\u00b3-1=-x\u00b3-1=-(x\u00b3+1)<\/span><\/strong><\/em>, che non coincide n\u00e9 con\u00a0\u0192(x)<\/em> e n\u00e9 con\u00a0-\u0192(x)<\/em>. Pertanto la funzione non sar\u00e0 simmetrica n\u00e9 con l’asse y e n\u00e9 con l’origine.<\/span><\/span><\/p>\n <\/p>\n <\/p>\n Considerando una funzione y=\u0192(x) , <\/span><\/span><\/em>viene definita periodica<\/strong>, di periodo <\/span><\/span>T,\u00a0<\/span><\/span><\/em>se, per qualsiasi numero k intero, si ha:\u00a0\u0192(x)=\u0192(x+kT) .\u00a0<\/strong><\/em>Essendo periodica, una funzione di questo tipo si ripete nel grafico in ogni intervallo T; le funzioni\u00a0sin(x)<\/em> e cos(x)<\/em> ad esempio ripetono il loro andamento ogni 2\u03c0, mentre le funzioni tangente e cotangente hanno come periodo\u00a0\u03c0.\u00a0<\/span><\/span><\/p>\n <\/p>\n <\/p>\n <\/p>\n Data la funzione biunivoca y = \u0192(x) da A a B, la funzione inversa di f \u00e8 la funzione biunivoca x = \u0192^(-1)(y) da B ad A. Quando una funzione ammette la sua inversa, allora si dice invertibile<\/strong>.\u00a0\u00a0Nel caso in cui non lo fosse, \u00e8\u00a0possibile effettuare una restrizione del dominio per rendere la funzione biunivoca.<\/p>\n <\/p>\n Ricorda!<\/strong><\/span>: il grafico di una funzione e quello della sua inversa sono simmetrici<\/strong> rispetto alla bisettrice del primo e del terzo quadrante.<\/p>\n <\/p>\n <\/p>\nClassificazione delle funzioni<\/b><\/span><\/h3>\n
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Propriet\u00e0 delle funzioni<\/strong><\/span><\/h2>\n
Funzione Iniettiva<\/strong><\/span><\/h4>\n
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![\"Ripetizioni](\"https:\/\/www.ripetizioni.it\/blog\/wp-content\/uploads\/2018\/09\/ripetizionni.png\")
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