{"id":7636,"date":"2019-03-04T10:27:25","date_gmt":"2019-03-04T08:27:25","guid":{"rendered":"https:\/\/www.ripetizioni.it\/blog\/?p=7636"},"modified":"2019-03-04T10:29:07","modified_gmt":"2019-03-04T08:29:07","slug":"perche-e-utile-e-a-cosa-serve-studiare-lalgebra-lineare","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/www.ripetizioni.it\/blog\/perche-e-utile-e-a-cosa-serve-studiare-lalgebra-lineare\/","title":{"rendered":"Perch\u00e9 \u00e8 utile e a cosa serve studiare l\u2019algebra lineare"},"content":{"rendered":"

L\u2019algebra lineare<\/strong> \u00e8 uno strumento centrale in molte aree della matematica e ha molte applicazioni pratiche<\/strong>. A volte si usa per approssimare i modelli non lineari, ad esempio nelle regressioni lineari, o nell’analisi dei piccoli segnali per i transistori. Oggigiorno, questa disciplina \u00e8\u00a0imprescindibile per molte carriere professionali, quale ad esempio quella degli ingegneri.<\/p>\n

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Autovalori, autovettori, operazioni su spazi vettoriali, trasformazioni lineari, algebra delle matrici, determinanti, matrici inverse, pseudo-inverse e molto altro ancora. Come vedi l’algebra lineare riguarda molti campi della matematica<\/strong> e non solo, ecco perch\u00e9 \u00e8 cos\u00ec importante da studiare.<\/p>\n

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\"Immagine<\/p>\n

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Cosa studia l’algebra lineare<\/strong><\/span><\/h2>\n

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L\u2019algebra lineare<\/b>\u00a0\u00e8 la branca della\u00a0matematica\u00a0che si occupa dello studio dei\u00a0vettori,\u00a0spazi vettoriali, trasformazioni lineari\u00a0e\u00a0sistemi di equazioni lineari.<\/p>\n

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I vettori<\/strong> sono segmenti orientati aventi lunghezza, direzione e verso. Essi possono essere usati per rappresentare determinate entit\u00e0 fisiche come le forze<\/strong>.<\/p>\n

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In questa branca della matematica, si studiano quindi le\u00a0propriet\u00e0 delle matrici<\/strong>, e gli\u00a0algoritmi\u00a0per calcolare delle quantit\u00e0 importanti che le caratterizzano, quali il\u00a0rango, il\u00a0determinante\u00a0e l\u2019insieme dei suoi\u00a0autovalori.<\/p>\n

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In analisi matematica<\/strong>, \u00e8 di importanza fondamentale per la\u00a0descrizione delle\u00a0derivate\u00a0di ordine superiore, per l\u2019analisi vettoriale e per la risoluzione delle\u00a0equazioni differenziali.<\/p>\n

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L’algebra lineare ha anche un applicazione concreta nella geometria analitica<\/strong>. Con essa inoltre, si studiano tutti i fenomeni lineari, non solo nel campo della fisica, ma anche in quello delle scienze naturali\u00a0 e sociali.<\/p>\n

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L’algebra lineare come strumento di pensiero<\/span><\/strong><\/h2>\n

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Questa disciplina, come, del resto, tutta la matematica, pu\u00f2 sembrare a prima vista solamente un insieme di formule, basti pensare al calcolo letterale<\/strong>. L’algebra lineare \u00e8 per\u00f2 un formidabile strumento di pensiero che consente di modellizzare<\/b> i problemi e le situazioni che ci troviamo di fronte.<\/p>\n

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\u00c8 necessario avere buone conoscenze di algebra anche perch\u00e9 questa ci permette di esprimere e dimostrare propriet\u00e0<\/strong>. Ad esempio, secondo te, \u00e8 vero che se un numero \u00e8 divisibile per 6 allora \u00e8 divisibile anche per 2?<\/p>\n

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Beh, se provassimo a fare una tabella, ci renderemmo conto che l’affermazione \u00e8 vera. Ma questo non basta, per\u00f2, perch\u00e9 i numeri naturali divisibili per 6 sono infiniti. Come facciamo, quindi, a dimostrarla attraverso una ragionamento matematico<\/strong>?<\/p>\n

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Se un numero \u00e8 divisibile per 6, allora nella sua scomposizione in fattori primi dovranno comparire almeno un 3 e un 2. Come vedi quindi, se nella scomposizione compare il 2, allora il numero oltre ad essere divisibile per 6, lo sar\u00e0 anche per 2.<\/p>\n

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L’algebra lineare ci consente di formalizzare questo ragionamento attraverso un linguaggio<\/strong> matematico:<\/p>\n

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Chiamiamo il nostro numero\u00a0n.\u00a0<\/em>Essendo divisibile per 6, allora possiamo scrivere che\u00a0\u00a0,dove t<\/em> \u00e8 un altro numero naturale. Scomponiamo 6 come 2*3, quindi\u00a0. Possiamo, infine, scrivere n<\/em> come il prodotto di 2 per un altro numero che \u00e8 3t\u00a0\u21d2\u00a0.\u00a0<\/em><\/p>\n

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Attraverso l’algebra lineare, pertanto, siamo riusciti a dire che n \u00e8 un multiplo di 2:\u00a0, (dove k=3t<\/em>)<\/p>\n

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\"Liceo<\/p>\n

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I sistemi lineari<\/strong><\/span><\/h2>\n

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Tra i vari motivi per studiare l’algebra lineare c’\u00e8 la risoluzione dei sistemi lineari. Attraverso l’utilizzo di questa parte della matematica siamo in grado di risolvere sistemi di equazioni di primo grado<\/strong>.<\/p>\n

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Questi tipi di esercizi sono molto importanti perch\u00e9 sono collegati con la geometria analitica<\/strong>, la quale \u00e8 impiegata, per esempio, nella grafica vettoriale (traslazioni, rotazioni, ecc.), per creare animazioni, per le mappe, per l\u2019astronomia e tanto altro ancora.<\/p>\n

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Per risolvere un sistema esistono vari modi. Ora proviamo a risolverne uno con il metodo del confronto<\/strong> :<\/p>\n

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Abbiamo il seguente sistema\u00a0\u00a0, per risolverlo possiamo ricavare la stessa incognita, in questo caso la x<\/em>, da<\/p>\n

entrambe le equazioni:\u00a0. Ora possiamo uguagliare i due termini in nero, essendo entrambi uguali ad x.\u00a0<\/em><\/p>\n

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\u00a0<\/em>, in questo modo abbiamo ottenuto un’equazione solamente in un incognita, ovvero la\u00a0y<\/em>. Questa si<\/p>\n

pu\u00f2 risolvere cos\u00ec:\u00a0\u00a0\u21d2 . Adesso ci rimane solamente da risolvere l’altra equazione<\/p>\n

sostituendo la y<\/em> che, come abbiamo scoperto, vale –2 . \u00a0<\/em>\u21d2\u00a0<\/p>\n

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\"Risultati<\/p>\n

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Perch\u00e9 dobbiamo studiare l’algebra lineare?<\/strong><\/span><\/h2>\n

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Come gi\u00e0 detto prima, l’algebra lineare, ed in particolare il calcolo letterale,\u00a0<\/strong>\u00e8 fondamentale per schematizzare, generalizzare e fare di un caso osservato una legge, che vale a prescindere dai valori che si assegnano alle lettere di un formula.<\/p>\n

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Basti pensare ai software<\/strong>, ai giochi elettronici, si basano tutti su questo concetto. Qualcuno per\u00f2 potrebbe pensare: a cosa serve il calcolo letterale, se esiste gi\u00e0 il calcolo con i numeri?<\/p>\n

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Per rispondere a questa domanda ti faccio un indovinello<\/strong>: prova a pensare un numero tra 1 e 10, moltiplicalo per 3. Ora aggiungi 4 al risultato; aggiungi adesso nuovamente il numero di partenza. Dividi tutto quello che ti esce per 4 e sottrai il numero che avevi pensato all’inizio. Scommetto che il risultato finale sar\u00e0 1.<\/p>\n

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Non c’\u00e8 nessun trucco di magia! Basta applicare il calcolo letterale: indichiamo con la lettera a<\/em> il numero tra 1 e 10 che ti ho chiesto di pensare. Poi ti ho chiesto di moltiplicarlo per 3 e di sommare al prodotto 4. Pertanto avremo 3<\/span>a+4<\/span><\/em>. Aggiungiamo di nuovo il numero di partenza, quindi a<\/em>\u00a0:\u00a03a+4+a<\/span>\u00a0\u21d2 4a+4\u00a0\u21d2 4(a+1)<\/em><\/p>\n

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Ti ho chiesto di dividere tutto per 4, e in seguito di sottrarre\u00a0a: [4(a+1)]\/4<\/span>\u00a0\u21d2 a+1 ;\u00a0\u00a0a+1-a\u00a0\u21d2<\/span>\u00a01<\/span><\/span><\/span><\/span>\u00a0. <\/em>Come vedi quindi qualunque numero che sostituisci ad a<\/em>, il risultato sar\u00e0 sempre 1.<\/p>\n

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Devi, quindi, fartene una ragione: il mondo della matematica, e non solo, \u00e8 fatto di formule; questo \u00e8 il motivo per cui \u00e8 necessario lavorare sia con i numeri e sia con le lettere.<\/p>\n

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\"studiare<\/p>\n

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L’algebra lineare e le matrici<\/span><\/strong><\/h2>\n

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Uno degli argomenti principali dell’algebra lineare sono le matrici<\/strong>. Queste vengono sia affrontate durante il biennio delle superiori, per via del metodo di Cramer<\/strong> per la risoluzione dei sistemi, e sia durante il primo anno di universit\u00e0.<\/p>\n

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L’utilizzo delle matrici risale fino al primo secolo a.C. Oggi vengono usate principalmente per il funzionamento dei computer, ma sono essenziali anche nella meccanica<\/strong>, nella chimica<\/strong>, oppure nella matematica finanziaria<\/strong>.<\/p>\n

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Una matrice \u00e8 un insieme, pi\u00f9 precisamente una tabella<\/strong>, di numeri che sono organizzati in colonne e in righe; come in questo esempio:\u00a0\u00a0. Chiameremo m<\/em> il numero delle righe<\/strong> e n<\/em> quello delle colonne<\/strong>, in questo caso m=2<\/em> e n=3.\u00a0<\/em><\/p>\n

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Esistono vari tipi di matrici:<\/p>\n

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