{"id":8123,"date":"2019-11-19T10:30:48","date_gmt":"2019-11-19T08:30:48","guid":{"rendered":"https:\/\/www.ripetizioni.it\/blog\/?p=8123"},"modified":"2019-11-15T12:26:24","modified_gmt":"2019-11-15T10:26:24","slug":"analisi-funzionale-matematica-spiegazione-completa","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/www.ripetizioni.it\/blog\/analisi-funzionale-matematica-spiegazione-completa\/","title":{"rendered":"Analisi funzionale matematica: spiegazione completa"},"content":{"rendered":"<div style=\"text-align: left;\"><span><span>In matematica la maggior parte delle Funzioni, cio\u00e8 operazioni che vengono ripetute potenzialmente all&#8217;infinito, non sono ben definite.<br \/>\nSe ne conoscono solo alcune, come per esempio la funzione esponenziale, la logaritmica, la radice quadrata, etc., ma quando si definiscono nuove Funzioni, che siano esse realizzate da zero oppure derivate dalla composizione di quelle conosciute, i comportamenti cambiano. Qui entra in gioco <em>l<strong>&#8216; Analisi Funzionale<\/strong><\/em>, comunemente nota come <strong>studio di funzione<\/strong><em><strong> .<\/strong><\/em><\/span><\/span><\/div>\n<p>&nbsp;<\/p>\n<blockquote>\n<div><strong><a href=\"https:\/\/www.ripetizioni.it\/lezioni-private\/matematica\">Hai bisogno di approfondire l&#8217;argomento e testare la tua conoscenza delle Funzioni ? Se ti serve l\u2019aiuto di un tutor specializzato, visita il sito Skuola.net | Ripetizioni e trova l&#8217;insegnante che fa per te per diventare in poco tempo un esperto in materia!<\/a><\/strong><\/div>\n<\/blockquote>\n<h1>Definizione<\/h1>\n<p>&nbsp;<\/p>\n<div><span>Per <strong>Analisi Funzionale<\/strong>, o <strong>studio di funzione<\/strong>,\u00a0 si intendono una serie di passaggi tramite i quali si possono capire e studiare i comportamenti delle <strong><a href=\"https:\/\/www.ripetizioni.it\/blog\/cosa-sono-le-funzioni-matematiche-spiegazione-completa\/\">Funzioni<\/a><\/strong>, secondo determinati risultati, con il fine di restituirne il grafico in maniera concreta.<\/span><\/div>\n<h2><span>Passaggi per effettuare un&#8217;analisi funzionale o studio di funzione.<\/span><\/h2>\n<div><span>I passaggi per effettuare uno studio di funzione sono sostanzialmente 8:<br \/>\n<\/span><\/div>\n<ol>\n<li>I<span>nsieme di definizione (o Dominio);<\/span><\/li>\n<li><span>Studio di Parit\u00e0 o Disparit\u00e0 della funzione;<\/span><\/li>\n<li><span>Intersezioni con gli assi;<\/span><\/li>\n<li><span>Studio del segno della Funzione;<\/span><\/li>\n<li><span>Limiti agli estremi del dominio e\/o limiti &#8220;rilevanti&#8221;;<\/span><\/li>\n<li><span>Studio della derivata prima;<\/span><\/li>\n<li><span>Derivata seconda con studio di convessit\u00e0 e punti di flesso;<\/span><\/li>\n<li><span>Disegno del grafico di funzione (approssimativo o esatto che sia).<br \/>\n<\/span><\/li>\n<\/ol>\n<div><span>\u00a0\u00a0<\/span><\/div>\n<h3><span>1) <strong>Studio del Dominio di una funzione<\/strong><\/span><\/h3>\n<p><span>Il <strong><em>Dominio<\/em><\/strong> di una funzione, o insieme di definizione, \u00e8 quella parte di R o C (o altri dipendentemente dal tipo di variabile che si sta studiando) <\/span><span>in cui y=f(x) esiste o \u00e8 definita.<br \/>\n<\/span><span>Per determinare il <strong><em>Dominio<\/em><\/strong> di una funzione \u00e8 necessario e sufficiente individuare i punti in cui la funzione non esiste. Per farlo dobbiamo scomporre la funzione che stiamo studiando in funzioni elementari di cui si conosce il <em>Dominio<\/em> e determinare il pi\u00f9 grande insieme di R, C, ect., in cui tutte le condizioni sono verificate contemporaneamente.<\/span><\/p>\n<p>&nbsp;<\/p>\n<h4><span>Condizioni di esistenza di funzioni elementari:<\/span><\/h4>\n<ul>\n<li><span>Rapporti: denominatore diverso da 0;<\/span><\/li>\n<li><span>Logaritmi: argomento diverso da zero;<\/span><\/li>\n<li><span>Radici di indice pari: radicando maggiore di zero;<\/span><\/li>\n<li><span>Arcoseno\/Arcoseno: argomento compreso tra -1 e 1 (con doppia disequazione);<\/span><\/li>\n<li><span>Esponenziale con base variabile: base maggiore di zero;<\/span><\/li>\n<li><span style=\"float: none; background-color: #f5f5f5; color: #333333; cursor: text; font-family: 'HKGroteskRegular','Helvetica Neue',Helvetica,Arial,sans-serif; font-size: 14px; font-style: normal; font-variant: normal; font-weight: 400; letter-spacing: normal; text-align: left; text-decoration: none; text-indent: 0px; text-transform: none;\">Seno\/Coseno: sono definite su R;<\/span><\/li>\n<li><span style=\"float: none; background-color: #f5f5f5; color: #333333; cursor: text; font-family: 'HKGroteskRegular','Helvetica Neue',Helvetica,Arial,sans-serif; font-size: 14px; font-style: normal; font-variant: normal; font-weight: 400; letter-spacing: normal; text-align: left; text-decoration: none; text-indent: 0px; text-transform: none;\">Ed altre&#8230;<br \/>\n<\/span><\/li>\n<\/ul>\n<div><span>Una volta che abbiamo individuato le varie condizioni di esistenza passeremo ad un sistema in cui inseriremo ogni condizione trovata e individueremo una condizione globale.<\/span><\/div>\n<h3><span><br \/>\n2) <strong>Studio di Parit\u00e0 e Disparit\u00e0<\/strong><\/span><\/h3>\n<div><span>Lo studio di questa propriet\u00e0 \u00e8 molto utile perch\u00e9, nel caso una funzione fosse <em><strong>Pari<\/strong><\/em> o <em><strong>Dispari<\/strong><\/em>, sapremo che la funzione che stiamo studiando sar\u00e0 simmetrica rispetto all&#8217;asse Y o all&#8217;origine (0;0) questo ci permette, in alcuni casi, di studiare solo una parte di grafico e dedurne il resto per simmetria.<\/span><\/div>\n<div><span>Nel caso di Parit\u00e0 della funzione allora f(-x)=f(x) e questo ci dice che la funzione \u00e8 simmetrica rispetto all&#8217;asse Y.<\/span><\/div>\n<div><span>&#8211;<\/span><span>Esempio: y= x^2 rappresenta la funzione della parabola con centro nell&#8217;origine. f(x)=x^2=(-x)^2=f(-x) e questo ci dice infatti che la parabola \u00e8 simmetrica rispetto all&#8217;asse Y.<\/span><\/div>\n<div><span><img decoding=\"async\" class=\"wp-image-8126 alignnone\" src=\"https:\/\/www.ripetizioni.it\/blog\/wp-content\/uploads\/2019\/05\/parabola.png\" alt=\"\" width=\"414\" height=\"283\" \/><\/span><\/div>\n<div><span><br \/>\nNel caso di Disparit\u00e0 della funzione allora f(-x)=-f(x) e questo ci dice che la funzione \u00e8 simmetrica rispetto all&#8217;origine (0,0)<\/span><\/div>\n<div><span>-Esempio: y= x^3 rappresenta la funzione del cubo passante per l&#8217;origine. f(x)=x^3=(-x)^3=-x^3=-f(x) questo ci dice che la funzione \u00e8<br \/>\nsimmetrica rispetto all&#8217;origine (0,0)<\/span><\/div>\n<div><img decoding=\"async\" class=\"alignnone wp-image-8128\" src=\"https:\/\/www.ripetizioni.it\/blog\/wp-content\/uploads\/2019\/05\/y-x-3.png\" alt=\"\" width=\"409\" height=\"409\" \/><\/div>\n<div><span><br \/>\n<strong>N.B<\/strong>. Lo studio del dominio di una\u00a0 funzione ci aiuta in oltre a capire quando \u00e8 necessario studiare la simmetria di una funzione. In effetti se ci ritroviamo di fronte ad un dominio simmetrico rispetto all&#8217;origine, come per esempio [-4;4], (-\u221e,-1]U[1,+\u221e) etc., allora vale la pena tentare di capire se la funzione \u00e8 pari o dispari, in caso contrario sappiamo gi\u00e0 che essa non pu\u00f2 essere n\u00e9 pari n\u00e9 dispari.<br \/>\n<\/span><\/div>\n<h3><span>3) <strong>Intersezioni con gli assi<\/strong><\/span><\/h3>\n<div><span>Le <em><strong>intersezioni con gli assi<\/strong><\/em> di una funzione y=f(x) sono i punti in cui il grafico interseca gli <em><strong>assi cartesiani.<\/strong><\/em><br \/>\nPer calcolare allora le intersezioni \u00e8 necessario imporre nella funzione originale il caso in cui x=0 e y=0 e ogni volta calcolare l&#8217;altra coordinata, ricorrendo anche alle funzioni inverse, per trovare il punto di intersezione. <\/span><\/div>\n<div><span>\u00a0\u00a0\u00a0<\/span><\/div>\n<div><span><strong>N.B<\/strong>. Se il punto x=0 appartiene al dominio di funzione allora essa intersecher\u00e0 l&#8217;asse y, in caso contrario no.<\/span><\/div>\n<div><span><br \/>\n-Esempio: Prendiamo ad esempio la funzione y=x^2. <\/span><\/div>\n<div><span>Intersezione con l&#8217;asse x. Poniamo quindi y=0 e calcoliamo x^2=0. Ricorrendo ora alla funzione inversa dell&#8217;esponete otteniamo x=0 quindi la funzione interseca l&#8217;asse x in x=0<br \/>\nIntersezione con l&#8217;asse y. Poniamo x=0 e ci accorgeremo che y=0^2=0 quindi la funzione interseca l&#8217;asse y in y=0.<\/span><\/div>\n<div><span>Ritroviamo quindi la definizione della funzione y=x^2 cio\u00e8 la parabola rivolta verso l&#8217;alto centrata in (0;0) (come da grafico sopra).<\/span><\/div>\n<div><span>\u00a0\u00a0<\/span><\/div>\n<h3><span>4) <strong>Studio del segno di una funzione<\/strong><\/span><\/h3>\n<div><span>Studiare il <b><i>Segno<\/i><\/b> di una funzione serve a capire in quali parti del suo dominio essa \u00e8 positiva, cio\u00e8 al di sopra dell&#8217;asse X, e\/o negativa, cio\u00e8 al di sotto dell&#8217;asse X.<\/span><\/div>\n<div><span>Per conoscere il <em><strong>Segno<\/strong><\/em> di una funzione ci basta studiare la disequazione f(x)&gt;0, ricordando di prendere solo le parti che appartengono al dominio poich\u00e9 essa al di fuori non esiste.<\/span><\/div>\n<div><span>\u00a0\u00a0\u00a0<\/span><\/div>\n<div><span>-Esempio: studiamo il segno della funzione x^3. Il suo dominio \u00e8 R.<br \/>\nPoniamo quindi x^3&gt;0 e ricorrendo alla funzione inversa scopriremo che la disequazione \u00e8 soddisfatta per tutte le x&gt;0. Quindi la funzione \u00e8 positiva su [0;+\u221e), negativa su (-\u221e;0] e vale 0 in x=0 (come da grafico sopra).<\/span><\/div>\n<div><span>\u00a0\u00a0\u00a0<\/span><\/div>\n<div><span><strong>N.B<\/strong>. In questa fase se aggiungiamo anche la condizione supplementare sul segno in cui x=0 allora troveremo sia l&#8217;intersezione con l&#8217;asse y che il segno di funzione.<\/span><\/div>\n<blockquote>\n<div><a href=\"https:\/\/www.ripetizioni.it\/blog\/metodo-studio-funzione\/\"><strong>Se vuoi un consiglio in pi\u00f9 per affrontare l&#8217;argomento, dai un occhiate a questo metodo di studio delle Funzioni proposto sul blog di Skuola.net | Ripetizioni<\/strong><\/a><\/div>\n<\/blockquote>\n<h3><span>5) <strong>Limiti agli estremi di dominio<\/strong><\/span><\/h3>\n<p><span>Per poter disegnare efficacemente il <em><strong>grafico di funzione<\/strong><\/em> bisogna capire dove tende la quando si avvicina agli <em><strong>estremi del suo dominio<\/strong><\/em>.<br \/>\nPer fare ci\u00f2 si individuano gli estremi e si fa tendere la x ad essi.<\/span><\/p>\n<p><span>Esempio. consideriamo la funzione y=x^2. Il suo dominio \u00e8 (-\u221e;+\u221e) cio\u00e8 tutto R. Ora per capire dove tender\u00e0 y quando x tende a +\/-\u221e studieremo il valore del limite di x^2 quando x tende a +\/-\u221e. In entrambi i casi scopriremo che ci saranno dei limiti a +\u221e quindi sapremo che andamento avr\u00e0 la funzione quando ci avviciniamo agli infiniti. (come da grafico sopra)<\/span><\/p>\n<p><strong>Individuazione di asintoti orizzontali e obliqui.<\/strong><\/p>\n<div><span>Se il limite a +\/-\u221e tende ad un infinito allora non c&#8217;\u00e8 un asintoto orizzontale. Contrariamente se tende ad un numero reale &#8220;a&#8221; significa che la retta y=a \u00e8 un asintoto orizzontale della funzione.<\/span><\/div>\n<div><span>Per calcolare gli asintoti obliqui eventuali procederemo in questo modo:<\/span><\/div>\n<ol>\n<li><span>Calcolo del limite a +\u221e di f(x)\/x. Se tende ad un infinito allora non ci sar\u00e0 un asintoto obliquo.<\/span><\/li>\n<li><span>Se il limite a +\u221e di f(x)\/x tende ad un reale &#8220;m&#8221; allora si calcola il limite a +\u221e di (f(x)-mx). E se il limite tende ad un infinito allora non ci sono asintoti obliqui, se tende ad un reale &#8220;q&#8221;, allora esiste un asintoto obliquo di equazione: <\/span><span>y=mx+q con q che pu\u00f2 essere anche nullo.<\/span><\/li>\n<\/ol>\n<h3><span>6) <strong>Studio della derivata prima<\/strong><\/span><\/h3>\n<p><span>Questo passaggio \u00e8 molto importante poich\u00e9 studiare la derivata ci d\u00e0 delle informazioni importanti sulla <strong><em>monotonia<\/em><\/strong> della funzione, cio\u00e8 la crescenza e la decrescenza di essa all&#8217;interno del suo dominio.<\/span><\/p>\n<div><span>Per procedere con questo passaggio \u00e8 necessario sapere 2 cose fondamentali:<\/span><\/div>\n<ol>\n<li><span>Saper individuare i punti in cui una funzione y=f(x) \u00e8 derivabile<\/span>;<\/li>\n<li><span>Saper derivare una funzione y=f(x)<\/span>.<\/li>\n<\/ol>\n<div><span>In linea generale il primo punto \u00e8 molto spesso omesso poich\u00e9 richiede la conoscenza di determinati concetti che non sempre vengono spiegati alle superiori, e molto spesso gli studenti anche all&#8217;universit\u00e0 si dimenticano di questa regola fondamentale.<\/span><\/div>\n<div><span>Con il fine di restituire il grafico il primo punto pu\u00f2 spesso essere trascurato, ma bisognerebbe in ogni caso tenerlo sempre a mente.<br \/>\n<\/span><br \/>\n<span>Una volta calcolata la <em><strong>derivata<\/strong><\/em> della funzione dobbiamo porre:<\/span><\/div>\n<div><span>f'(x)&gt;0<\/span><\/div>\n<div><span>L&#8217;insieme di punti in cui la derivata sar\u00e0 positiva sono i punti in cui la funzione y=f(x) sar\u00e0 crescente. In tutto il resto del dominio essa risulter\u00e0 decrescente cio\u00e8 a derivata di segno negativo.<\/span><\/div>\n<div><span>Successivamente si impone un&#8217;altra condizione sulla derivata:<\/span><\/div>\n<div><span>f'(x)=0 <\/span><\/div>\n<div><span>Questa condizione ci dar\u00e0 dei validi candidati di punti di massimo e minimo della funzione y=f(x).<\/span><\/div>\n<div><span>\u00a0\u00a0<\/span><\/div>\n<h3><span>7) <strong>Studio della derivata seconda<\/strong><\/span><\/h3>\n<div>\n<p><span>Questo ultimo passaggio ci dar\u00e0 l&#8217;informazione sulle zone di <em><strong>concavit\u00e0 e convessit\u00e0<\/strong><\/em>. In questa fase si procede in maniera simile alla derivata prima.<\/span><\/p>\n<p>Per prima cosa calcoliamo la derivata della derivata prima, cio\u00e8 la derivata seconda della funzione originale:<br \/>\n<span>y=f&#8221;(x)<br \/>\n<\/span><span>Successivamente individuiamo i punti in cui la derivata seconda \u00e8 positiva:<\/span><br \/>\n<span>f&#8221;(x)&gt;0<\/span><br \/>\n<span>Le zone di positivit\u00e0 e di negativit\u00e0 della derivata seconda ci dicono le zone di concavit\u00e0 e convessit\u00e0 della funzione. Le zone positive avranno una concavit\u00e0 verso l&#8217;alto e quelle negative daranno una concavit\u00e0 verso il basso. Indicate con una piccola parabola rivolta verso l&#8217;alto o verso il basso nel grafico dello studio della derivata seconda.<\/span><\/p>\n<\/div>\n<div><span>Infine poniamo la derivata seconda uguale a zero:<\/span><\/div>\n<div><span>f&#8221;(x)=0<\/span><\/div>\n<div><span>Cos\u00ec facendo individuiamo i possibili punti di flesso, cio\u00e8 i punti in cui la funzione cambia di concavit\u00e0.<\/span><\/div>\n<h3><span>\u00a0\u00a0<\/span><\/h3>\n<h3><span>8) <\/span><strong>Disegno del grafico di funzione<\/strong><\/h3>\n<p><span>Non ci resta che disegnare il grafico della funzione tenendo conto di tutte le informazioni precedenti.<\/span><\/p>\n<ol>\n<li><span>Disegniamo gli assi cartesiani<\/span><\/li>\n<li><span>Segniamo i punti in cui la funzione interseca l&#8217;asse x e y.<\/span><\/li>\n<li><span>Tenendo conto delle zone di positivit\u00e0 e negativit\u00e0 cancelliamo le zone in cui la funzione non esiste.<\/span><\/li>\n<li><span>Tracciamo gli asintoti verticali, orizzontali e obliqui, in caso di esistenza.<\/span><\/li>\n<li><span>Individuiamo i punti di massimo e minimo.<\/span><\/li>\n<li><span> Individuiamo i punto di flesso eventuali.<\/span><\/li>\n<li><span>Zone di crescenza e decrescenza e zone di concavit\u00e0 e convessit\u00e0.<\/span><\/li>\n<li><span>Disegniamo il grafico.<br \/>\n<\/span><\/li>\n<\/ol>\n<blockquote><p><strong><a href=\"https:\/\/www.ripetizioni.it\/lezioni-private\/matematica\">Per qualsiasi ulteriore aiuto nello studio della matematica \u00e8 sempre possibile rivolgersi al servizio di Skuola.net | Ripetizioni, grazie al quale potrai reperire un tutor esperto che ti seguir\u00e0 nello studio e nel recupero delle materie scolastiche.<\/a><\/strong><\/p><\/blockquote>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"<p>In matematica la maggior parte delle Funzioni, cio\u00e8 operazioni che vengono ripetute potenzialmente all&#8217;infinito, non sono ben definite. Se ne conoscono solo alcune, come per esempio la funzione esponenziale, la logaritmica, la radice quadrata, etc., ma quando si definiscono nuove Funzioni, che siano esse realizzate da zero oppure derivate dalla composizione di quelle conosciute, i&nbsp; <a href=\"https:\/\/www.ripetizioni.it\/blog\/analisi-funzionale-matematica-spiegazione-completa\/\">&hellip; Read more <i class=\"glyphicon glyphicon-arrow-right\"><\/i><\/a><\/p>\n","protected":false},"author":19,"featured_media":8673,"comment_status":"open","ping_status":"open","sticky":false,"template":"","format":"standard","meta":{"wl_entities_gutenberg":"","footnotes":""},"categories":[70],"tags":[339,338],"wl_entity_type":[321],"class_list":["post-8123","post","type-post","status-publish","format-standard","has-post-thumbnail","hentry","category-matematica","tag-analisi-funzionale","tag-studio-di-funzione","wl_entity_type-article"],"yoast_head":"<!-- This site is optimized with the Yoast SEO plugin v27.4 - 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