<\/p>\n
Definizione di Espressione Algebrica<\/i>.<\/h1>\n
<\/p>\n
Viene definita Espressione Algebrica<\/i> un insieme di numeri e lettere (dell’alfabeto minuscole) legati tra loro dai segni di operazioni elementari.<\/u><\/p>\n
Ad esempio<\/p>\n
- \n
- 5a-3b+32<\/li>\n
- 2ay+9a<\/li>\n<\/ul>\n
<\/p>\n
Definizione e propriet\u00e0 di un Monomio<\/i>.<\/h2>\n
<\/p>\n
Si definisce come Monomio<\/i> un’Espressione Algebrica letterale i cui numeri e lettere sono legati tra loro solo dall’operazione di moltiplicazione.<\/p>\n
Un Monomio<\/i> \u00e8 costituito da una parte numerica munito del segno e una parte letterale, la relazione che le lega \u00e8 la moltiplicazione.<\/p>\n
Ad esempio<\/p>\n
- \n
- +4ab \u00e8 un monomio il cui coefficiente \u00e8 +4 e la parte letterale \u00e8 ab;<\/li>\n
- -cd \u00e8 un monomio il cui coefficiente \u00e8 -1 e la parte letterale \u00e8 cd;<\/li>\n
- e\/f non<\/u> \u00e8 un monomio.<\/span><\/li>\n<\/ul>\n
Due Monomi<\/i> si definiscono simili<\/b> quando hanno la stessa parte letterale<\/u>: le stesse lettere con lo stesso esponente.<\/p>\n
Ad esempio<\/p>\n
- \n
- 5a e -3a sono monomi simili. Stessa parte letterale con stesso esponente.<\/li>\n<\/ul>\n
Due Monomi<\/i> si definiscono opposti<\/b> quando sono simili<\/u> con coefficiente di segno opposto<\/u>.<\/p>\n
Ad esempio<\/p>\n
- \n
- 5a e -5a sono monomi opposti.<\/li>\n<\/ul>\n
Due Monomi<\/i> si definiscono uguali<\/b> quando sono simili<\/u> e con lo stesso coefficiente<\/u>.<\/p>\n
<\/p>\n
Definizione del Grado<\/b> di un Monomio.<\/h2>\n
<\/p>\n
Il Grado<\/i> di un Monomio<\/i> rispetto ad una sua lettera \u00e8 l’esponente con cui essa figura<\/u>.<\/p>\n
Il Grado<\/i> complessivo di un monomio<\/b> \u00e8 la somma degli esponenti<\/u> delle lettere che lo compongono.<\/p>\n
<\/p>\n
Ad esempio<\/span><\/p>\n
- \n
- -3a3<\/sup>b3<\/sup>\u00a0 a \u00e8 di grado 3; b \u00e8 di grado 3 e il monomio ha grado 3+3=6<\/li>\n<\/ul>\n
<\/p>\n
Abbiamo quindi definito le caratteristiche principali dei Monomi<\/i>, cio\u00e8 quegli elementi che compongono le Espressioni Algebriche<\/i>. Una volta che abbiamo capito cosa si intende per Monomio<\/i> la definizione di Polinomio<\/u><\/span> viene da se, ovvero un insieme di monomi non simili tra loro legati dai segni di addizione e sottrazione. Ma quando abbiamo di fronte un’Espressione come facciamo a risolverla?<\/p>\n
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![\"espressioni](\"https:\/\/www.ripetizioni.it\/blog\/wp-content\/uploads\/2019\/06\/mmmat.jpg\")
<\/p>\n<\/p>\n
Addizione algebrica di Monomi.<\/h3>\n
<\/p>\n
La somma algebrica<\/i> di due o pi\u00f9 monomi simili<\/u> ha come risultato un monomio simile<\/u> a quelli di partenza avente come coefficiente la somma algebrica dei coefficienti <\/u>dei monomi di partenza. In caso in cui i monomi non siano simili<\/b> tra loro non \u00e8 possibile effettuare una somma algebrica, sar\u00e0 per\u00f2 possibile, eventualmente, effettuare altre operazioni di \u201csemplificazione\u201d.<\/p>\n
Ad esempio.<\/p>\n
- \n
- 8abc+32abc-6de+2def = (8+32)abc-6de+2def = 40adb-6de+2def<\/li>\n<\/ul>\n
<\/p>\n
Moltiplicazione di Monomi.<\/h3>\n
<\/p>\n
A differenza della somma algebrica di monomi, la moltiplicazione<\/i> e poi la divisione di due o pi\u00f9 monomi \u00e8 pi\u00f9 delicata poich\u00e9 essa non solo lavora sui coefficienti ma anche sugli esponenti delle lettere che compongono i monomi.<\/p>\n
Propriet\u00e0 1<\/u>: il prodotto<\/i> di due o pi\u00f9 monomi aventi base uguale<\/u> da come risultato la base di partenza e come esponente la somma degli esponenti<\/u>.<\/p>\n
Propriet\u00e0 2<\/u>: il prodotto<\/i> di due o pi\u00f9 monomi aventi pi\u00f9 lettere<\/u> \u00e8 un monomio che ha:<\/p>\n
- \n
- il coefficiente<\/b> come prodotto di tutti i coefficienti<\/u> dei monomi di partenza<\/li>\n
- per parte letterale<\/b> tutte le lettere presenti nei monomi di partenza, ciascuna scritta una sola volta e avente per esponente la somma degli esponenti della lettera stessa.<\/li>\n<\/ol>\n
Ad esempio.<\/p>\n
- \n
- (+5a2<\/sup>)*(-3a3<\/sup>b3<\/sup>)*(2b2<\/sup>) = (5*(-3)*2)*(a2+3<\/sup>b3+2<\/sup>) = -30a5<\/sup>b5<\/sup><\/li>\n<\/ul>\n
<\/p>\n
Divisione di Monomi.<\/h3>\n
<\/p>\n
Effettuando una divisione \u00e8 bene tenere a mente una regola fondamentale della matematica<\/i>, ovvero l’impossibilit\u00e0 di dividere per 0<\/b>. Quando abbiamo definito i monomi abbiamo detto che le lettere rappresentano numeri. Generalmente ci si riferisce ai numeri Naturali (\u2115<\/span>) o quelli Reali (<\/span>\u211d<\/span>), ed in essi \u00e8 presente anche lo 0. Spesso negli studi inferiori si tende a passare sopra a questa cosa dando pi\u00f9 conto all’esecuzione dell’esercizio piuttosto che ai fattori di formalit\u00e0, per\u00f2 al fine di un corretto svolgimento dell’esercizio \u00e8 bene tenerne almeno conto.<\/span><\/p>\n
Uno dei trucchi pi\u00f9 semplici per risolvere una divisione tra monomi \u00e8 quello di ricordarsi una delle propriet\u00e0 pi\u00f9 importanti degli esponenti, ovvero che quando vogliamo portare a numeratore il denominatore il segno degli esponenti cambia. Se quindi vediamo le divisioni come moltiplicazioni avente per esponenti numeri di segno opposto, tutto diventa pi\u00f9 semplice.<\/span><\/p>\n
Diamo comunque le propriet\u00e0 della divisione tra monomi tenendo a mente la regola sopra citata.<\/span><\/p>\n
Propriet\u00e0 1<\/u><\/span>: il <\/span>quoziente<\/i><\/span> di due o pi\u00f9 potenze aventi stessa base (non nulla) \u00e8 un monomio avente come <\/span>base quella di partenza<\/u><\/span> e come <\/span>esponente la differenza degli esponenti<\/u><\/span>.<\/span><\/p>\n
Propriet\u00e0 2<\/u><\/span>: il <\/span>quoziente<\/i><\/span> di due monomi (di cui il secondo \u00e8 non nullo) \u00e8 un monomio avente:<\/span><\/p>\n
- \n
- come <\/span>coefficiente<\/b><\/span> il <\/span>quoziente dei coefficienti<\/u><\/span> di monomi di partenza<\/span><\/li>\n
- per <\/span>parte letterale<\/b><\/span> tutte le lettere presenti ciascun monomio, scritta una sola volta e come esponente la differenza tra gli esponenti dei monomi di partenza<\/span><\/li>\n<\/ol>\n
<\/p>\n
Potenza di un monomio.<\/span><\/h3>\n
<\/p>\n
Si dice <\/span>potenza di un monomio<\/i><\/span> il <\/span>prodotto<\/u><\/span> di tanti monomi uguali, tante volte quanto \u00e8 il valore dell’esponente.<\/span><\/p>\n
Propriet\u00e0<\/u><\/span><\/span>: la potenza di un monomio \u00e8 un monomio avente:<\/span><\/p>\n
- \n
- per <\/span>coefficiente<\/b><\/span>, il coefficiente di partenza elevato all’esponente della potenza<\/span><\/li>\n
- per <\/span>parte letterale<\/b><\/span> tutte le lettere presenti elevate all’esponente della potenza.<\/span><\/li>\n<\/ol>\n
Ad esempio.<\/span><\/p>\n
- \n
- (-2a)<\/span>4<\/span><\/sup> = (-2a)*(-2a)*(-2a)*(-2a) = +16a4<\/span><\/sup><\/li>\n<\/ul>\n
<\/p>\n
Una volta definite tutte le varie operazioni possibili all’interno del calcolo delle varie Espressioni Algebriche vediamo come risolverle praticamente.<\/p>\n
Nella risoluzione di un’espressione \u00e8 fondamentale sapere come effettuare le operazioni sopra definite. In effetti ci sono delle regole di calcolo, legate all’ordine di esecuzione delle operazioni, che dobbiamo tenere a mente:<\/p>\n
- \n
- Le potenze<\/b> hanno priorit\u00e0 assoluta;<\/li>\n
- Successivamente si effettuano le moltiplicazione <\/b>e le<\/span> divisioni<\/b> nell’ordine in cui appaiono nel testo;<\/li>\n
- Infine si effettuano le addizioni<\/b> e sottrazioni<\/b> nell’ordine in cui appaiono nel testo.<\/li>\n<\/ol>\n
Laddove queste regole non vengano rispettate si arriver\u00e0 a dei risultati sbagliati. Quando si sar\u00e0 pi\u00f9 esperti nel calcolo si potranno effettuare 1) e 2) in maniera univoca.<\/p>\n
Ci sono delle eccezioni<\/i> a queste regole che derivano dall’uso delle parentesi. Esse danno un ordine di esecuzione delle operazioni differente e danno priorit\u00e0 ad un calcolo piuttosto che un altro. In tal caso si effettuano prima le tonde, poi le quadre e poi le graffe. In caso contrario, ovvero nel caso in cui non siano presenti le parentesi, vigono le regole precedenti.<\/p>\n
Andiamo a risolvere insieme un’Espressione Algebrica cos\u00ec da capire meglio come procedere.<\/p>\n
Esempio:<\/p>\n
(3*5-5)2<\/span><\/sup> : (22<\/span><\/sup>+1) * 2 =<\/p>\n
= (15-5)2<\/span><\/sup> : (4+1) * 2 = \u00a0 \u00a0 \u00a0 \u00a0 \u00a0 \u00a0 \u00a0 \u00a0 \u00a0 \u00a0\u00a0 Si effettuano prima le potenze dentro le parentesi<\/p>\n
= 102<\/span><\/sup> : 5 * 2 = \u00a0 \u00a0 \u00a0 \u00a0 \u00a0 \u00a0 \u00a0 \u00a0 \u00a0 \u00a0 \u00a0 \u00a0 \u00a0 \u00a0 \u00a0 \u00a0\u00a0 Si risolvono le parentesi tonde<\/p>\n
= 100 : 5 * 2 = \u00a0 \u00a0 \u00a0 \u00a0 \u00a0 \u00a0 \u00a0 \u00a0 \u00a0 \u00a0 \u00a0 \u00a0 \u00a0 \u00a0 \u00a0 \u00a0 Si effettuano le potenze<\/p>\n
= 20 * 2 = 40 \u00a0 \u00a0 \u00a0 \u00a0 \u00a0 \u00a0 \u00a0 \u00a0 \u00a0 \u00a0 \u00a0 \u00a0 \u00a0 \u00a0 \u00a0 \u00a0 \u00a0 Si calcolano le divisioni\/moltiplicazioni in ordine<\/p>\n
<\/p>\n
- Successivamente si effettuano le moltiplicazione <\/b>e le<\/span> divisioni<\/b> nell’ordine in cui appaiono nel testo;<\/li>\n
- Le potenze<\/b> hanno priorit\u00e0 assoluta;<\/li>\n
- per <\/span>parte letterale<\/b><\/span> tutte le lettere presenti elevate all’esponente della potenza.<\/span><\/li>\n<\/ol>\n
- per <\/span>parte letterale<\/b><\/span> tutte le lettere presenti ciascun monomio, scritta una sola volta e come esponente la differenza tra gli esponenti dei monomi di partenza<\/span><\/li>\n<\/ol>\n
- come <\/span>coefficiente<\/b><\/span> il <\/span>quoziente dei coefficienti<\/u><\/span> di monomi di partenza<\/span><\/li>\n
- per parte letterale<\/b> tutte le lettere presenti nei monomi di partenza, ciascuna scritta una sola volta e avente per esponente la somma degli esponenti della lettera stessa.<\/li>\n<\/ol>\n
- il coefficiente<\/b> come prodotto di tutti i coefficienti<\/u> dei monomi di partenza<\/li>\n
- 8abc+32abc-6de+2def = (8+32)abc-6de+2def = 40adb-6de+2def<\/li>\n<\/ul>\n
- -3a3<\/sup>b3<\/sup>\u00a0 a \u00e8 di grado 3; b \u00e8 di grado 3 e il monomio ha grado 3+3=6<\/li>\n<\/ul>\n
- 5a e -5a sono monomi opposti.<\/li>\n<\/ul>\n
- 5a e -3a sono monomi simili. Stessa parte letterale con stesso esponente.<\/li>\n<\/ul>\n